Federpendel

Bewegung eines ungedämpften Federschwingers

Ein Federpendel oder Federschwinger ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einem daran befestigten Massestück besteht, welches sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. Sofern sich die Masse in Lotrichtung bewegt, beeinflusst die Schwerkraft die Ruhelage.

Beim Loslassen des aus seiner Ruhelage ausgelenkten Federschwingers beginnt eine harmonische Schwingung, die bei fehlender Dämpfung nicht mehr abklingt.

Funktionsweise

Eine ideale Feder übt auf die Masse eine Kraft aus, die sich aus der Kraft in der Ruhelage und einem Anteil proportional zur Entfernung von der Ruhelage zusammensetzt. Die Kraft in der Ruhelage kompensiert die Gewichtskraft und hat keine Auswirkung auf das Schwingungsverhalten. Der Anteil proportional zur Auslenkung wirkt stets rückstellend. Ein ausgelenkter Federschwinger hat deshalb immer das Bestreben, in die Ruhelage zurückzukehren. Seine Masse wird in Richtung der Ruhelage beschleunigt und schwingt auf Grund des Trägheitsprinzips wieder darüber hinaus.

Die in der Feder gespeicherte potentielle Energie wird in kinetische Energie der Masse umgewandelt. Bei fehlender Dämpfung wird dem System keine Energie entzogen, so dass sich dieser Vorgang periodisch mit konstanter Amplitude wiederholt.

Wird der Federschwinger durch eine äußere Kraft periodisch angeregt, so kann die Amplitude sehr groß werden und zur Resonanzkatastrophe führen.

Herleitung der Schwingungsgleichung

Kraft an einem Federschwinger. Die Federkraft F wirkt zur Ruhelage.

Die auf die Masse wirkende Federkraft ist nach dem Hookeschen Gesetz proportional zur Auslenkung y.

$F = D \cdot y$

Der Proportionalitätsfaktor D ist die Federkonstante oder Direktionskonstante.

Die Federkraft verursacht nach dem Aktionsprinzip eine Beschleunigung des Massestücks entgegen der Auslenkung. Die Beschleunigung kann auch als zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit ausgedrückt werden.

$m \cdot \ddot y = -F = - D \cdot y$

Nach dem Umformen der Gleichung erhält man schließlich

$m \cdot \ddot y + D \cdot y = 0 \Rightarrow \ddot y + \frac D m \cdot y = 0$

$\ddot y + \omega_0^2 \cdot y = 0$

eine lineare homogene Differentialgleichung, die mit einem Exponentialansatz gelöst werden kann.

$\omega _{0}$ wird als ungedämpfte Eigenkreisfrequenz bezeichnet.

$\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}}$

Die Eigenkreisfrequenz ist allgemein $\omega_0 = \tfrac{2 \cdot \pi}{T}$ , das Umstellen nach der Periodendauer T ergibt

$T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

Die Periodendauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.

Lösen der Schwingungsgleichung

Die Auslenkung sei eine Exponentialfunktion der Form $y(t) = c \cdot e^{\lambda \cdot t}$ . Die zweite Ableitung der Funktion ist laut Kettenregel

$\ddot y(t) = c \cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda \cdot t}$

Das Einsetzen von y in die Schwingungsgleichung liefert

$c \cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda \cdot t} + \omega_0^2 \cdot c \cdot e^{\lambda \cdot t} = c \cdot e^{\lambda \cdot t} \cdot (\lambda^2 + \omega_0^2) = 0$

Weil die Konstante c nicht Null sein kann (sonst wäre der Ansatz sinnlos) und die e-Funktion für alle Werte von t nicht Null werden kann, muss die sogenannte charakteristische Gleichung $\lambda^2 + \omega_0^2=0$ erfüllt sein.

$\lambda^2 + \omega_0^2 = 0$

$\lambda_{1/2} = \pm \sqrt{-\omega_0^2} = \pm \omega_0 \cdot \mathrm i$

Für $\lambda$ gibt es zwei komplexe Lösungen:

$y_1 = c_1 \cdot e^{\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t}$

und

$y_2 = c_2 \cdot e^{-\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t}$

Die beiden Lösungen für y_1 und y_2 können addiert werden. Für die Auslenkung y des Federschwingers erhält man daher:

$\underline {y(t) = c_1 \cdot e^{\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t} + c_2 \cdot e^{-\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t}}$

Die Konstanten $c_{1}$ und $c_{2}$ müssen bestimmt werden. Zu Beginn der Schwingung sind t=0 und y = 0 . Nach dem Viertel einer Periodendauer T hat der Oszillator seine maximale Auslenkung ${\hat {y}}$ erreicht.

$y(0) = c_1 + c_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad c_1 = - c_2$

$y\left(\frac{T}{4}\right) = y\left(\frac{2\pi}{4 \cdot \omega_0}\right) = c_1 \cdot e^{\frac{\pi}{2} \mathrm i} + c_2 \cdot e^{-\frac{\pi}{2} \mathrm i} = \hat y$

Die Exponentialfunktion mit komplexen Zahlen kann mit Hilfe der eulerschen Formel in Sinus- und Cosinus-Funktionen umgewandelt werden.

$\hat y = c_1 \cdot \left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \mathrm i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right] + c_2 \cdot \left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \mathrm i \cdot \sin \left(- \frac{\pi}{2}\right)\right]$

$\hat y = c_1 \cdot \mathrm i - c_2 \cdot \mathrm i$

Einsetzen von c_1 = - c_2 liefert

$- 2 \cdot c_2 \cdot \mathrm i = \hat y$

Man erhält $c_1 = \frac{\hat y}{2 \mathrm i}$ und $c_2 = - \frac{\hat y}{2 \mathrm i}$ . Die Konstanten können nun in die trigonometrische Darstellung der Auslenkungsfunktion eingesetzt werden, die dann unter Beachtung der Quadrantenbeziehungen $\sin(-h) = - \sin(h)$ und $\cos(k) = \cos(-k)$ umgeformt wird.

$y(t) = \frac{\hat y}{2 \mathrm i} \cdot [\cos (\omega_0 \cdot t) + \mathrm i \cdot \sin (\omega_0 \cdot t)] - \frac{\hat y}{2 \mathrm i} \cdot [\cos (- \omega_0 \cdot t) + \mathrm i \cdot \sin (- \omega_0 \cdot t)] = \frac{\hat y}{2 \mathrm i} \cdot 2 \cdot \mathrm i \cdot \mathrm \sin(\omega_0 \cdot t)$

Die Schwingungsgleichung für den idealen Federschwinger ohne Auslenkung zu Beginn der Schwingung ( $\varphi_0 = 0$ ) ist

$\underline{ \underline{y(t) = \hat y \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)}}$

Energie eines Federschwingers

Die kinetische Energie eines Federschwingers mit der Masse m lässt sich berechnen mit $E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ .

Nach dem Einsetzen der Geschwindigkeit v erhält man

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \cdot {\hat y}^2 \cdot \omega_0^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$ .

Für die Eigenkreisfrequenz gilt $\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \Rightarrow D = m \cdot \omega_0^2$ . Deshalb kann die kinetische Energie auch ausgedrückt werden mit:

$E_\mathrm{kin} = \frac{D}{2} {\hat y}^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

Die potentielle Energie ist allgemein

$E_\mathrm{pot} = \int F_\mathrm{F} \, \mathrm d s$ für $F \parallel s$

Da die Federkraft $F_\mathrm{F} = D \cdot y$ ist, gilt

$E_\mathrm{pot} = D \cdot \int y \, \mathrm d y$

$E_\mathrm{pot} = \frac{D}{2} y^2$

Die gesamte Federenergie E_F setzt sich aus der potentiellen und der kinetischen Energie zusammen.

$E_\mathrm{F} = E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin}$

$E_\mathrm{F} = \frac{D}{2} {\hat y}^2 \cdot \sin^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0) + \frac{D}{2} {\hat y}^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

Aufgrund des „trigonometrischen Pythagoras“ gilt $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ , die Gesamtenergie vereinfacht sich zu:

$\underline{\underline {E_{\mathrm F} = {D \over 2} \cdot {\hat y}^2}}$

Massebehaftete Feder

Die Bewegungsgleichungen für ideale Federschwinger gelten nur für masselose Federn. Wenn die elastische Feder als massebehaftet angenommen wird und die Masse homogen verteilt ist, ergibt sich die Periodendauer der Schwingung zu

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m + \frac{1}{3} m_F}{D}}$

Die Parameter m und m_F entsprechen der Masse des Schwingers und der Masse der Feder.

Die Gesamtlänge der Feder sei l, s sei die Entfernung zwischen der Aufhängung des Federschwingers und einem beliebigen Punkt auf der Feder. Ein Abschnitt der Feder mit der Länge ds hat dann die Masse $\mathrm d m_F = m_F \cdot \frac{\mathrm d s}{l}$ . Die Geschwindigkeit des Federabschnitts ist $v_F = \dot y \frac{s}{l}$ , denn sie steigt linear mit zunehmender Entfernung von der Aufhängung. Daraus folgt für die kinetische Energie eines Federabschnitts

$\mathrm d E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm d m_F \cdot v_F^2$

$\mathrm d E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \frac{\mathrm d s}{l} \cdot \dot y^2 \cdot \frac{\mathrm s^2}{l^2} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot y^2 \cdot \frac{1}{l^3} \cdot s^2 \mathrm d s$

Die gesamte kinetische Energie der Feder erhält man durch Integrieren:

$E_\mathrm{kin,F} = \int \mathrm d E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot y^2 \cdot \frac{1}{l^3} \cdot \int_0^l s^2 \mathrm d s$

$E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot y^2 \cdot \frac{1}{3}$

Die kinetische Energie eines Federschwingers unter Berücksichtigung der massebehafteten Feder ist

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot \dot y^2 \cdot \left(m + \frac{1}{3} m_F\right)$

Man erkennt, dass sich ein Drittel der Federmasse so verhält, als wäre sie ein Teil der Masse des Körpers. Daraus folgt die oben beschriebene Periodendauer für eine massebehaftete Feder.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de