Fixpunktsatz von Banach

Der Fixpunktsatz von Banach, auch als Banachscher Fixpunktsatz bezeichnet, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Er gehört zu den Fixpunktsätzen und liefert neben der Existenz und der Eindeutigkeit eines Fixpunktes auch die Konvergenz der Fixpunktiteration. Somit ist die Aussage konstruktiv. Es wird also ein Verfahren zur Bestimmung des Fixpunktes sowie eine Fehlerabschätzung für ebendieses angegeben.

Mit dem Fixpunktsatz von Banach lässt sich beispielsweise die Konvergenz von iterativen Verfahren wie dem Newton-Verfahren zeigen. Außerdem lässt sich der Satz von Picard-Lindelöf mithilfe des Banachschen Fixpunktsatzes zeigen. Dieser ist Grundlage der Existenztheorie gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Der Satz ist nach Stefan Banach benannt, der ihn 1922 zeigte.

Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.

Aussage

Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum (X, d) und eine nichtleere, abgeschlossene Menge $M\subset X$ . Sei

$\varphi \colon M\to M$

eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $k<1$ . Das bedeutet, es gilt

$d\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)\leq k\cdot d(x,y)$ für alle $x,y\in M$ .

Außerdem sei die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ iterativ definiert durch

$x_{n+1}=\varphi (x_{n})$

für einen beliebigen Startwert $x_{0}$ aus .

Unter den obigen Voraussetzungen gilt:

Es existiert genau ein ${\tilde {x}}\in M$ , so dass

$\varphi ({\tilde {x}})={\tilde {x}}$

ist. Für alle $x_{0}\in M$ gilt außerdem

$\lim _{n\to \infty }x_{n}={\tilde {x}}$

Die Abbildung $\varphi$ besitzt also einen eindeutig bestimmten Fixpunkt und dieser stimmt für alle Startwerte der oben angegebenen Iterationsvorschrift mit dem Grenzwert der Iteration überein.

Fehlerabschätzung der Fixpunktiteration

Für die Iterationsvorschrift

$x_{n+1}=\varphi (x_{n})$

gelten folgende Fehlerabschätzungen:

A-priori-Fehlerabschätzung: Es ist

$d(x_{n},{\tilde {x}})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}d(x_{1},x_{0})$

A-posteriori-Fehlerabschätzung: Es ist

$d(x_{n+1},{\tilde {x}})\leq {\frac {k}{1-k}}d(x_{n+1},x_{n})$

Außerdem gilt die Abschätzung

$d(x_{n+1},{\tilde {x}})\leq k\cdot d(x_{n},{\tilde {x}})$ ,

die Konvergenzgeschwindigkeit ist also linear.

Bemerkung

In der Literatur finden sich teils von der oben angegebenen Aussage abweichende Formulierungen. Mögliche Unterschiede sind:

Die Eigenschaft der Abbildung $\varphi$ , eine Kontraktion zu sein, wird stattdessen über die Lipschitz-Stetigkeit formuliert. Dann muss $\varphi$ auf Lipschitz-stetig sein mit einer Lipschitz-Konstante $L=k<1$ .
Der zugrunde liegende Raum ist ein anderer. So wird der Satz teils auf Banachräumen (das heißt auf vollständigen normierten Räumen) formuliert oder auf $\mathbb {R}$ . Die Aussage wie auch der Beweis bleiben identisch, es ist dann lediglich $d(x,y)=\|y-x\|$ im Falle eines normierten Raumes $(X,\|\cdot \|)$ beziehungsweise $d(x,y)=|y-x|$ im reellen Fall zu setzen.

Beweisskizze

Der Beweis der Aussage basiert darauf, zu zeigen, dass die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, die dann Aufgrund der Vollständigkeit des zugrundeliegenden Raumes konvergiert.

Zuerst gilt aufgrund der Kontraktivität

$d(x_{n},x_{n+1})=d\left(\varphi (x_{n-1}),\varphi (x_{n})\right)\leq kd(x_{n-1},x_{n})$

Durch wiederholtes Anwenden dieser Abschätzung erhält man

$d(x_{n},x_{n+1})\leq k^{n}d(x_{0},x_{1})$ (1)

Des Weiteren folgt durch wiederholtes Abschätzen mit der Dreiecksungleichung

$d(x_{n},x_{n+m})\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\dots +d(x_{n+m-1},x_{n+m})$ (2)

Schätzt man die einzelnen Summenglieder der rechten Seite von (2) durch (1) ab, so erhält man

$d(x_{n},x_{n+m})\leq k^{n}(1+k+k^{2}+\dots +k^{m-1})d(x_{0},x_{1})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}d(x_{0},x_{1})$

Die letzte Abschätzung folgt hier Mithilfe der geometrischen Reihe, da $k<1$ . Aus der Abschätzung folgt direkt, dass $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit existiert dann der Grenzwert

${\tilde {x}}:=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

der Folge. Da $\varphi$ eine Abbildung von in sich selbst ist, und abgeschlossen ist, ist ${\tilde {x}}$ in der Menge enthalten.

Da $\varphi$ stetig ist (da kontraktiv), folgt

${\tilde {x}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\varphi (x_{n})=\varphi ({\tilde {x}})$ ,

der Grenzwert ${\tilde x}$ ist also Fixpunkt.

Angenommen, es existieren zwei Fixpunkte ${\tilde {x}},{\tilde {y}}$ . Dann ist

$\varphi ({\tilde {x}})={\tilde {x}}$ und $\varphi ({\tilde {y}})={\tilde {y}}$ .

Aus der Kontraktivität folgt dann

$d({\tilde {x}},{\tilde {y}})=d(\varphi ({\tilde {x}}),\varphi ({\tilde {y}}))\leq k\cdot d({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ .

Da aber $k<1$ ist, muss $d({\tilde {x}},{\tilde {y}})=0$ sein. Daher ist ${\tilde {x}}={\tilde {y}}$ .

Anwendungen

Dieser Satz wird in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt, die wichtigsten sind:

das inverse- und implizite-Funktionen-Theorem
der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen

In der numerischen Mathematik spielt die Fixpunktiteration eine wichtige Rolle. Beispiele hierfür sind die Konvergenztheorien numerischer Verfahren, wie das Newton-Verfahren oder das Splitting-Verfahren.

Umkehrung

Die folgende auch als Satz von Bessaga bekannte Aussage stellt eine Umkehrung des Fixpunktsatzes dar:

Ist $\varphi :M\rightarrow M$ eine Funktion auf einer nichtleeren Menge, so dass $\varphi$ und alle Iterierten $\varphi ^{n}$ genau einen Fixpunkt haben, so gibt es zu jedem $k\in (0,1)$ eine vollständige Metrik $d_{k}$ auf , so dass $\varphi$ bzgl. $d_{k}$ eine Kontraktion mit der Kontraktionskonstanten

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de