Normaler Raum

Hinweis: Es gibt in der Standardliteratur keine einheitliche Auffassung hinsichtlich der Begriffe normaler Raum und T₄-Raum; vielmehr herrscht Uneinheitlichkeit. In diesem Artikel gilt die Auffassung, dass ein T₄-Raum ein normaler Hausdorff-Raum ist, während ein normaler Raum nicht notwendig hausdorffsch zu sein hat.

Graphische Darstellung eines normalen Raumes

Ein normaler Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Kürzer: Abgeschlossene Mengen E, F werden durch Umgebungen U, V getrennt.

Diese Eigenschaft ist zum Beispiel Grundlage des Lemmas von Urysohn oder des Fortsetzungssatzes von Tietze. Der Begriff geht zurück auf Heinrich Tietze 1923, seine ganze Tragweite wurde von Urysohn bei seinen Arbeiten über die Fortsetzung von Funktionen erkannt.

Normalität vererbt sich nicht notwendig auf alle Teilräume.

Formale Definition des normalen Raumes und des T₄-Raumes (normaler Hausdorff-Raum)

Zu beachten ist, dass die Definition in der Literatur uneinheitlich ist, hier wird für einen normalen Raum nicht die Eigenschaft hausdorffsch gefordert, für einen T₄-Raum jedoch schon.

Sei ein topologischer Raum. heißt normal, falls es zu je zwei abgeschlossenen Teilmengen , mit $E\cap F=\emptyset$ Umgebungen $U_{E}\subset {\mathfrak {U}}(E)$ , sowie $U_{F}\subset {\mathfrak {U}}(F)$ von E und F gibt mit $U_{E}\cap U_{F}=\emptyset$ .

Ein normaler Raum, der zusätzlich die Trennungseigenschaft T₂ erfüllt, also ein normaler Hausdorff-Raum ist, wird als T₄-Raum bezeichnet.

Viele Autoren verwenden die Begriffe anders: Sie setzen für einen normalen Raum automatisch hausdorffsch voraus (d.h. T₂-Raum) und verstehen unter T₄-Räumen die in diesem Artikel unter "normal" beschriebene Raumklasse, es entfällt also die Forderung, dass T₄-Räume hausdorffsch sind. Die meisten in den Anwendungen auftretenden normalen Räume sind T₂-Räume.

Beispiele

Alle parakompakten Hausdorff-Räume, und damit die meisten in der Mathematik untersuchten Räume, sind normal, insbesondere metrische Räume und Mannigfaltigkeiten.
Pseudometrische Räume sind dagegen normal, ohne im Allgemeinen Hausdorff-Räume zu sein.
Der topologische Vektorraum aller Funktionen von ℝ nach ℝ mit der Topologie der punktweisen Konvergenz ist nicht normal. Das Produkt aus überabzählbar vielen nicht-kompakten metrischen Räumen ist niemals normal.

Eigenschaften

Vererbungseigenschaften

Ein abgeschlossener Unterraum eines normalen Raumes ist wieder ein normaler Raum. Allgemeiner gilt dies sogar noch, wenn der Unterraum eines normalen Raumes eine Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen ist.
Beliebige Unterräume eines normalen Raumes sind im Allgemeinen nicht normal, wie man etwa an einem beliebigen vollständig regulären Raum, der nicht normal ist, etwa der Sorgenfrey-Ebene oder dem Niemytzki-Raum, eingebettet in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung sieht, denn letztere ist als kompakter Hausdorff-Raum normal.
Produkte normaler Räume sind im Allgemeinen nicht normal, wie das Beispiel der Sorgenfrey-Ebene als Produkt der normalen Sorgenfrey-Gerade zeigt. Das erste Beispiel eines normalen Raumes, dessen Produkt mit einem metrischen Raum nicht wieder normal ist, ist die Michael-Gerade.

Fortsetzung stetiger Funktionen

→ Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge stetige, reellwertige Funktion zu einer auf dem ganzen Raum stetigen, reellwertigen Funktion fortgesetzt werden kann.

Lemma von Urysohn

→ Hauptartikel: Lemma von Urysohn

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Mengen $A,B\subset X$ eine stetige Funktion $f:X\rightarrow [0,1]$ gibt mit $f(A)=\{0\}$ und $f(B)=\{1\}$ .

Abgeschlossene Umgebungen

Eine einfache Umformulierung der Definitionen liefert:

Ein topologischer Raum ist genau dann normal, wenn es zu jeder Umgebung einer abgeschlossenen Menge eine offene Menge gibt, für die gilt:

$A \subset O \subset \bar O \subset U.$

Das bedeutet, dass für jede abgeschlossene Menge die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.

Zerlegung der Eins

Ein normaler Raum ermöglicht eine Zerlegung der Eins für jede lokal endliche offene Überdeckung.

Überdeckungen

Ein T₁-Raum ist genau dann normal, wenn jede offene, lokalendliche Überdeckung $(U_{i})_{{i\in I}}$ eine Schrumpfung besitzt, das heißt es gibt eine offene Überdeckung $(V_{i})_{i\in I}$ mit ${\overline {V_{i}}}\subset U_{i}$ für alle $i\in I$ .

Spezialisierungen

Der Begriff des normalen Raumes kann auf mehrere Weisen verschärft werden:

Ein normaler Raum heißt vollständig normal, wenn es zu je zwei Mengen $A,B\subset X$ mit $A\cap \overline {B}=\emptyset =\overline {A}\cap B$ disjunkte offene Mengen und gibt mit $A\subset U$ und $B\subset V$ . Hier liegt also eine stärkere Trennungseigenschaft vor. In solchen Räumen sind alle Unterräume, nicht nur die abgeschlossenen, normal. Die Tichonow-Planke ist ein nicht-normaler Unterraum eines Kompaktums, letzteres ist daher normal aber nicht vollständig normal.
Ein normaler Raum heißt perfekt normal, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A,B\subset X$ eine stetige Funktion $f:X\rightarrow [0,1]$ gibt mit $A=f^{{-1}}(0)$ und $B=f^{{-1}}(1)$ . In solchen Räumen gilt also eine stärkere Version des Urysohnschen Lemmas. Die Einpunktkompaktifizierung der Tichonow-Planke ist nicht perfekt normal, da der unendlich ferne Punkt keine $G_{\delta }$ -Menge ist und daher nicht Nullstellengebilde einer stetigen, reellwertigen Funktion sein kann.
Ein normaler Raum heißt total normal, falls es zu jeder offenen Menge eine offene Überdeckung gibt, so dass
- Jedes $U_{i}$ ist eine $F_\sigma$ -Menge, das heißt eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen.
- ${\mathcal {U}}$ ist lokalendlich auf , d.h. zu jedem $x\in U$ gibt es eine Umgebung $V\subset U$ , die mit nur endlich vielen der $U_{i}$ einen nicht-leeren Schnitt hat.