Überdeckung (Mathematik)
In der Mathematik ist eine Überdeckung ein grundlegendes Konzept aus der Topologie. Offene Überdeckungen spielen insbesondere bei der Kompaktheit von topologischen Räumen eine wichtige Rolle.
Definitionen
Überdeckung
Eine Familie von Teilmengen von heißt Überdeckung von , wenn
gilt. Die Überdeckung heißt endlich (oder abzählbar), wenn die Indexmenge endlich (bzw. abzählbar) ist.
Teilüberdeckung
Sind und Überdeckungen von , so heißt Teilüberdeckung von , falls zu jedem ein existiert mit .
Verfeinerung
Sind und wieder zwei Überdeckungen von , so heißt feiner als , wenn es zu jedem einen Index gibt, so dass gilt. Das Mengensystem wird dann Verfeinung oder Verfeinerungsüberdeckung von genannt.
Überdeckungen in topologischen Räumen
Offene/abgeschlossene Überdeckung
Eine Überdeckung eines topologischen Raumes heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn alle in offen (bzw. abgeschlossen) sind.
Kompaktheit
Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Überdeckungseigenschaften
- Eine Überdeckung heißt punktendlich, wenn jeder Punkt des Raumes in höchstens endlich vielen Überdeckungsmengen liegt.
- Eine Überdeckung heißt lokalendlich, wenn jeder Punkt des Raumes eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Überdeckungsmengen schneidet. Bekanntlich heißt ein topologischer Raum parakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine lokalendliche Überdeckung besitzt.
- Eine Überdeckung heißt -lokalendlich, wenn sie als abzählbare Vereinigung von Mengenfamilien geschrieben werden kann, so dass jeder Punkt des Raumes zu jedem eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Mengen aus schneidet.
- Eine Überdeckung heißt -diskret, wenn sie als abzählbare Vereinigung von Mengenfamilien geschrieben werden kann, so dass es zu jedem Punkt und zu jedem eine Umgebung dieses Punktes gibt, die höchstens eine der Mengen aus schneidet. Die -diskreten und -lokalendlichen Überdeckungen spielen eine wichtige Rolle im Satz von Bing-Nagata-Smirnow.
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.06. 2021