Überdeckung (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Überdeckung ein grundlegendes Konzept aus der Topologie. Offene Überdeckungen spielen insbesondere bei der Kompaktheit von topologischen Räumen eine wichtige Rolle.

Definitionen

Überdeckung

Eine Familie (A_{i})_{i\in I} von Teilmengen von A heißt Überdeckung von B\subset A, wenn

B\subset \bigcup _{{i\in I}}A_{i}

gilt. Die Überdeckung (A_{i})_{i\in I} heißt endlich (oder abzählbar), wenn die Indexmenge I endlich (bzw. abzählbar) ist.

Teilüberdeckung

Sind (A_{i})_{i\in I} und (C_{j})_{{j\in J}} Überdeckungen von B, so heißt (C_{j})_{{j\in J}} Teilüberdeckung von (A_{i})_{i\in I}, falls zu jedem j\in J ein i\in I existiert mit C_{j}=A_{i}.

Verfeinerung

Sind (A_{i})_{i\in I} und (D_{k})_{{k\in K}} wieder zwei Überdeckungen von B\subset A, so heißt (D_{k})_{{k\in K}} feiner als (A_{i})_{i\in I}, wenn es zu jedem k \in K einen Index i\in I gibt, so dass D_{k}\subset A_{i} gilt. Das Mengensystem (D_{k})_{{k\in K}} wird dann Verfeinung oder Verfeinerungsüberdeckung von (A_{i})_{i\in I} genannt.

Überdeckungen in topologischen Räumen

Offene/abgeschlossene Überdeckung

Eine Überdeckung (A_{i})_{i\in I} eines topologischen Raumes X heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn alle A_{i} in X offen (bzw. abgeschlossen) sind.

Kompaktheit

Hauptartikel: Kompakter Raum

Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Überdeckungseigenschaften

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.06. 2021