Fredholm-Operator

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach Erik Ivar Fredholm) eine bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition

Ein beschränkter linearer Operator $A\colon X\to Y$ zwischen zwei Banachräumen und heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: " ist Fredholm", wenn

$\ker A$ endliche Dimension hat und
$\mathrm{ran}\,A$ endliche Kodimension in hat.

Dabei ist $\ker A$ der Kern von , also die Menge $\{x\in X: Ax=0\}$ und $\mathrm{ran}\,A$ ist das Bild von , also die Teilmenge $\{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y$ .

Die Zahl

$\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}\,A,Y)\in\mathbb Z$

heißt Fredholm-Index von .

Eigenschaften

Bild ist abgeschlossener Unterraum

Das Bild $\mathrm{ran}\; (A)$ eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

Komposition

Die Komposition $A \circ B$ zweier Fredholm-Operatoren und ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt

$\operatorname{ind}(A\circ B) = \operatorname{ind}(A) + \operatorname{ind}(B)$ .

Dualer Operator

Sei $A'\colon Y'\to X'$ der zum Fredholm-Operator duale Operator. Dann gilt $\dim(\ker A') = \operatorname{codim}(\mathrm{ran}(A))$ und $\operatorname{codim}(\mathrm{ran}(A')) = \dim(\ker A)$ . Daher ist auch ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt $\operatorname{ind}(T') = - \operatorname{ind}(T)$ .

Satz von Atkinson

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator $A \colon X\to Y$ genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren B_1, B_2 und kompakte Operatoren K_1, K_2 gibt, so dass AB_1=I_Y-K_1 und B_2A=I_X-K_2 gilt, das heißt wenn modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator $A \colon X\to X$ genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse $[A]_{\mathcal{C}(X)}$ in der Calkin-Algebra $\mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X)$ invertierbar ist.

Kompakte Störung

Für jeden Fredholm-Operator und jeden kompakten Operator ist A+K ebenfalls ein Fredholm-Operator mit gleichem Fredholm-Index wie . Daher sagt man, dass der Index eines Fredholm-Operators invariant unter kompakten Störungen ist. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form I+K für einen kompakten Operator ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Stetigkeit des Fredholm-Index

Seien $A_0, A_1 \colon X \to Y$ Fredholm-Operatoren und $\phi \colon X \times [0,1] \to Y$ eine Homotopie mit $\phi(\cdot,0) = A_0$ und $\phi(\cdot,1) = A_1$ für alle $x\in X$ , dann gilt $\operatorname{ind}(A_0) = \operatorname{ind}(A_1)$ . Der Fredholm-Index ist daher eine homotopie-invariante Zahl. Betrachtet man also eine stetige Familie $A_{t}$ von Fredholm-Operatoren, dann ist

$t \mapsto \mathrm{ind}(A_t)$

eine stetige Abbildung bezüglich der Operatornorm. Da die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ein diskreter topologischer Raum ist, ist $t \mapsto \mathrm{ind}(A_t)$ eine lokal konstante Funktion, das heißt, sie ist auf einer Zusammenhangskomponenten konstant.

Surjektivität des Fredholm-Index

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.

Punctured Neighbourhood Theorem

Ist $A \colon X\to X$ ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein $\varepsilon >0$ , so dass für alle $\lambda\in\mathbb{C}$ mit $0 < |\lambda| < \varepsilon$

$\dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A$ und
$\mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A$

gilt. Insbesondere ist $A - \lambda I$ also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus $\mathrm{ind}(A - \lambda I) = \mathrm{ind}(A)$ . Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.

Elliptische Operatoren

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei $n\geq 1$ und $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen $A \colon H^{1,2}(\Omega) \to H^{1,2}(\Omega)'$ definiert durch

$A(u)(v) := \int_{\Omega} \sum_{i,j} \partial_i v a_{ij} \partial_j u$

für $u,v \in H^{1,2}(\Omega)$ ein Fredholm-Operator.

Beispiele

Shiftoperator

→ Hauptartikel: Shiftoperator

Integraloperator

Ein klassisches Beispiel eines Fredholm-Operators ist der Operator

wobei der Identitätsoperator und ein kompakter Operator ist. Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen C([a,b]) beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen $L^{2}([a,b])$ ist der Operator von der Form

$(A \phi)(x) = \phi(x) + \int_a^b k(x,y) \phi(y) \mathrm{d} y$ ,

wobei der Integralkern eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist. Dieser Fredholm-Operator hat den Index 0. In der Fredholm-Theorie werden Gleichungen des Typs $A \phi(x) = f(x)$ untersucht. Die Fredholm-Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm-Theorie gibt eine Antwort, unter welchen Bedingungen Gleichungen diesen Typs lösbar sind.

Laplace-Operator

→ Hauptartikel: Laplace-Operator

Der Laplace-Operator

$\Delta f = \sum_{k=1}^n {\partial^2 f\over \partial x_k^2}$

definiert auf dem Sobolev-Raum $H^2(\R^n)$ der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator. Daher ist er auch ein Fredholm-Operator. Da er auch selbstadjungiert ist, hat er den Fredholm-Index 0.

Betrachtet man den Laplace-Operator im distributionellen Sinn auf $L^2(\R^n)$ , ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm-Operator bezüglich der obigen Definition. Im Sinne von unbeschränkten Operatoren, wie dies später im Artikel noch erklärt wird, ist er allerdings weiterhin ein Fredholm-Operator.

Elliptischer Operator auf einer Mannigfaltigkeit

Der Kreis (als $\mathbb R/\mathbb Z$ gedacht) kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden. Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch

$D = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - 2\pi i\lambda$

für eine komplexe Konstante $\lambda$ gegeben. Der Kern von ist der von den Termen der Form $\exp (i 2\pi\, \lambda\, x)$ aufgespannte Raum, falls $\lambda\in \mathbb Z$ , und 0 in den anderen Fällen. Der Kern des adjungierten Operators ist ein ähnlicher Raum, nur wird $\lambda$ durch sein komplex-konjugiertes ersetzt. Der Fredholm-Operator hat damit den Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten Terme erfasst werden. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ändert sich ihre Differenz, der Index, stetig.

Unbeschränkte Fredholm-Operatoren

Bis jetzt wurde in diesem Artikel der Fredholm-Operator nur als spezieller beschränkter Operator betrachtet. Beispielsweise in der Indextheorie elliptischer Operatoren über nicht kompakten Räumen ist es jedoch sinnvoll die Definition des Fredholm-Operators auf unbeschränkte Operatoren zu erweitern. Im Gegensatz zum beschränkten Fall, müssen hier einige weitere Eigenschaften gefordert werden, die der beschränkte Fredholm-Operator automatisch erfüllt.

Seien und zwei Banachräume. Ein (unbeschränkter) Operator $A \colon X \to Y$ wird Fredholm-Operator genannt, falls

abgeschlossen ist,
der Operator dicht definiert ist,
die Dimension des Kerns $\operatorname{ker}(A)$ endlich ist,
das Bild $\operatorname{ran}(A)$ abgeschlossen ist und
die Kodimension von $\operatorname{ran}(A)$ in endlich ist.

Der Fredholm-Index ist wie im Fall beschränkter Operatoren durch

$\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}(A))\in\mathbb Z$

definiert.

Ein unbeschränkter Fredholm-Operator beziehungsweise sein Index erfüllen ebenfalls die meisten der oben angeführten Eigenschaften. So ist die Verkettung unbeschränkter Fredholm-Operatoren wieder ein Fredholm-Operator, für den obige Indexformel gilt, der Satz von Atkinson gilt ebenfalls und der Fredholm-Index unbeschränkter Fredholm-Operatoren ist auch invariant unter kompakten Störungen. Eine Verbindung zur Calkin-Algebra besteht für unbeschränkte Fredholm-Operatoren allerdings nicht.

Siehe auch

Wesentliches Spektrum

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de