Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im -dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Linie (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition

Ist ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist ein Untervektorraum von , dann wird die Kodimension von in durch

$\mathrm {codim} (U,V)=\dim(V/U),$

also als die Dimension des Faktorraums V/U , definiert.

Eigenschaften

Es gilt stets

$\dim U+{\mathrm {codim}}(U,V)=\dim V.$

Ist endlichdimensional, so ist also

$\mathrm {codim} (U,V)=\dim V-\dim U.$

Ist ein Komplementärraum von in , d.h. $U\oplus W=V$ , so ist

${\mathrm {codim}}(U,V)=\dim W.$

Sind $U_{1},U_{2}\subseteq V$ zwei Unterräume, so gilt stets

$\mathrm {codim} (U_{1}\cap U_{2},V)\leq \mathrm {codim} (U_{1},V)+\mathrm {codim} (U_{2},V).$

Sind $U,W\subseteq V$ Unterräume, so gilt

${\mathrm {codim}}(U\cap W,W)={\mathrm {codim}}(U,U+W)\leq {\mathrm {codim}}(U,V).$

Beispiele

Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de