Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei $D\subseteq {\mathbb {C}}$ ein Gebiet, $D_{f}$ isoliert in und $f\colon D\setminus D_{f}\to {\mathbb {C}}$ holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt $a\in D_{f}$ eine punktierte Umgebung $U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D$ , die relativ kompakt in liegt, mit $f|_{U}$ holomorph. In diesem Fall besitzt auf eine Laurententwicklung $\textstyle f|_{U}(z)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ . Dann definiert man für das Residuum von in

$\operatorname {Res}_{a}(f):=c_{{-1}}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i}}}}\oint _{{\partial U}}f(z)dz$ .

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel ${\mathbb {P}}_{1}=\mathbb{C} \cup \{\infty \}$ erweitern. Sei $D_{f}$ wieder eine diskrete Menge in ${\mathbb {P}}_{1}$ und $f\colon {\mathbb {P}}_{1}\setminus D_{f}\to {\mathbb {C}}$ eine holomorphe Funktion. Dann ist für alle $a\in D_{f}$ mit $a\neq \infty$ das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt. Für $a=\infty \in D_{f}$ setzt man

$\operatorname {Res}_{\infty }(f):=-c_{{-1}}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i}}}}\oint _{{\gamma }}f(z)dz\,,$

wobei $\gamma$ ein Kreis mit hinreichend großem Radius ist, der im Uhrzeigersinn orientiert ist, und $c_{-1}$ ist wie oben der -1. Koeffizient der Laurentreihe.

Eigenschaften und Anmerkungen

Sei $D\subset \mathbb{C}$ ein Gebiet und $f\colon D\to \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion in . Dann kann der cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von in null ist.
An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform $f(z){\mathrm {d}}z$ sprechen kann.
Es gilt der Residuensatz.
Für rationale Funktionen $f:{\hat {\mathbb{C} }}\to {\hat {\mathbb{C} }}$ gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation: $\sum _{{p(f)}}\operatorname {Res}_{p}(f)=0$ . Dabei ist die Menge aller Pole von und $\hat{\C}= \mathbb{C}\cup\{ \infty\}$ die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f,g im Punkt $a\in {\mathbb {C}}$ in der Praxis verwendet werden:

Das Residuum ist $\mathbb {C}$ -linear, d.h. für $\lambda ,\mu \in {\mathbb {C}}$ gilt: $\operatorname {Res}_{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res}_{a}f+\mu \operatorname {Res}_{a}g$
Hat in eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: $\textstyle \operatorname {Res}_{a}f=\lim _{{z\rightarrow a}}(z-a)f(z)$
Hat in eine Polstelle 1. Ordnung und ist in holomorph, gilt: $\operatorname {Res}_{a}gf=g(a)\operatorname {Res}_{a}f$
Hat in eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname {Res}_{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}$
Hat in eine Nullstelle 1. Ordnung und ist in holomorph, gilt: $\operatorname {Res}_{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}$
Hat in eine Polstelle -ter Ordnung, gilt: $\textstyle \operatorname {Res}_{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{{z\rightarrow a}}{\frac {\partial ^{{n-1}}}{\partial z^{{n-1}}}}[(z-a)^{n}f(z)]$
Hat in eine Nullstelle -ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res}_{a}{\tfrac {f'}{f}}=n$ .
Hat in eine Nullstelle -ter Ordnung und ist g in holomorph, gilt: $\operatorname {Res}_{a}g{\tfrac {f'}{f}}=g(a)n$ .
Hat in eine Polstelle -ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res}_{a}{\tfrac {f'}{f}}=-n$ .
Hat in eine Polstelle -ter Ordnung und ist g in holomorph, gilt: $\operatorname {Res}_{a}g{\tfrac {f'}{f}}=-g(a)n$ .
Ist das Residuum am Punkt $\infty$ zu berechnen, so gilt $\operatorname {Res}_{\infty }f=\operatorname {Res}_{0}\left(-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\right)$ . Denn mit $w={\tfrac {1}{z}}$ gilt $f(w){\mathrm {d}}w=f({\tfrac {1}{z}}){\mathrm {d}}{\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}}){\mathrm {d}}z$

Die Regeln über die logarithmische Ableitung ${\tfrac {f'}{f}}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

Wie bereits erwähnt, ist $\operatorname {Res}_{a}f=0$ , wenn auf einer offenen Umgebung von holomorph ist.
Ist $f(z)={\tfrac {1}{z}}$ , so hat in $0$ einen Pol 1. Ordnung, und es ist $\operatorname {Res}_{0}f=1$ .
$\operatorname {Res}_{1}{\tfrac {z}{z^{2}-1}}={\tfrac {1}{2}}$ , wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn $z\mapsto z^{2}-1$ hat in eine Nullstelle 1. Ordnung.
Die fortgesetzte Gammafunktion hat in für $n\in \mathbb {N} _{0}$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist $\operatorname {Res}_{{-n}}\Gamma ={\tfrac {(-1)^{n}}{n!}}$ .

Algebraische Sichtweise

Es seien ein Körper und eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über . Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $x\in X$ eine kanonische Abbildung

$\operatorname {res}_{x}\colon \Omega _{{K(X)/K}}\to K,$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in zuordnet.

Ist ein -rationaler Punkt und eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist $\omega$ eine meromorphe Differentialform und $\omega =f\,{\mathrm d}t$ eine lokale Darstellung, und ist

$f=\sum _{{k=-N}}^{\infty }a_{k}t^{k}$

die Laurentreihe von , so gilt

$\operatorname {res}_{x}\omega =a_{{-1}}.$

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall $K=\mathbb C$ mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform $\omega$ ist die Summe der Residuen null:

$\sum _{{x\in X}}\operatorname {res}_{x}\omega =0.$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de