Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element einer Menge ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von gibt, in der (außer ) keine weiteren Elemente von liegen. Ein Punkt $a\in X$ ist also genau dann isoliert, wenn kein Häufungspunkt von ist.

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

In der Menge $\{0\}\cup [1,2]$ ist $0$ ein isolierter Punkt.
In der Menge $\{0\}\cup \{1,{\tfrac 12},{\tfrac 13},\dots \}$ ist jedes der Elemente ${\tfrac 1n}$ ein isolierter Punkt, aber $0$ ist kein isolierter Punkt.
In der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N} =\{0,1,2,\dots \}$ sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

Basierend auf einem Artikel in:

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