Logarithmische Ableitung

In der Analysis ist die logarithmische Ableitung $\operatorname {L}(f)$ einer differenzierbaren Funktion , die keine Nullstellen besitzt, als der Quotient der Funktion und deren Ableitung definiert; formal

$\operatorname {L}(f):={\frac {f'}{f}}.$

Für reelle Funktionen mit positiven Werten stimmt er nach der Kettenregel mit der Ableitung der Funktion $\ln(f)$ überein; daher der Name. Es gilt also

$\int {\frac {f'}{f}}=\ln f$ .

Für holomorphe oder meromorphe Funktionen kann die logarithmische Ableitung aber auch gebildet werden, obwohl der komplexe Logarithmus nicht auf ganz ${\mathbb C}\setminus \{0\}$ definiert werden kann.

Rechenregeln

Die Bedeutung des Begriffes liegt in der Formel für die logarithmische Ableitung eines Produktes:

$\operatorname {L}(f\cdot g)=\operatorname {L}(f)+\operatorname {L}(g)$ ,

allgemein

$\operatorname {L}(f_{1}\cdots f_{n})=\operatorname {L}(f_{1})+\ldots +\operatorname {L}(f_{n})$ .

Als Abwandlung zur Produktregel gilt also

$(fg)'=fg(\operatorname {L}(f)+\operatorname {L}(g))$ .

Analog gilt

$\operatorname {L}(1/f)=-\operatorname {L}(f)$

und

$\operatorname {L}(f/g)=\operatorname {L}(f)-\operatorname {L}(g)$ .

Für die logarithmische Ableitung der Potenzfunktion erhält man etwa

$\operatorname {L}(f^{n})=n\cdot \operatorname {L}(f)$ .

Diese Formeln folgen aus der Leibnizregel und gelten deshalb auch in allgemeinerem Kontext, beispielsweise bei der (formalen) Ableitung von Polynomen oder rationalen Funktionen über einem beliebigen Grundkörper.

Beispiele

Die logarithmische Ableitung von Funktionen kann meistens mit den normalen Differentiationsregeln bestimmt werden.

	$\operatorname {L}(f)$	Anmerkungen
	$0$	$n\in {\mathbb {R}}\setminus \{0\}$
$x^{n}$	${\frac {n}{x}}$	$n\in {\mathbb {R}}$
$e^{{nx}}$		$n\in {\mathbb {R}}$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x\ln(x)}}$
$\sin(x)$	$\cot(x)$
$\cos(x)$	$-\tan(x)$
$\tan(x)$	${\frac {1}{\sin(x)\cos(x)}}$
$\Gamma (z)$	$\psi (z)$	Die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion ist die Digamma-Funktion.

Anwendung

Lässt sich eine Funktion darstellen als

$f=k\cdot u^{a}\cdot v^{b}\cdot w^{c}\cdot \dots$

mit und $a,b,c,\dots$ als Konstanten, so ergibt sich die Ableitung zu

$f'=f\cdot \left(a\cdot {\frac {u'}{u}}+b\cdot {\frac {v'}{v}}+c\cdot {\frac {w'}{w}}+\dots \right).$

Dieser Umstand kann bei praktischen Anwendungen wie der Handrechnung genutzt werden, um manche Ableitungsregeln kompakt zusammenzufassen: So ergibt sich beispielsweise bei den Faktoren k=1 , a=1 , b=1 die Produktregel, mit den Faktoren k=1 , a=1 , b=-1 die Quotientenregel und mit k=1 , a=-1 die Reziprokenregel.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de