Reziprokenregel

Die Reziprokenregel oder Kehrwertregel dient zur Ableitung von mathematischen Funktionen der Form

$f(x)={\frac {1}{v(x)}}\,.$

Ist die Funktion v(x) von einem Intervall in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x_{a}$ mit $v(x_a)\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion an der Stelle $x_{a}$ differenzierbar und nach der Kettenregel gilt für die Ableitung:

$f'(x_{a})=\left[{\frac {1}{v}}\right]'(x_{a})=\left[v^{{-1}}\right]'(x_{a})=(-1)\cdot v^{{-2}}(x_{a})\cdot v'(x_{a})=-{\frac {v'(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}\,$

Die Reziprokenregel lautet damit wie folgt in Kurzschreibweise:

$\left[{\frac {1}{v}}\right]'=-{\frac {v'}{v^{2}}}\,.$

Die Reziprokenregel kann auch als ein Spezialfall der Quotientenregel mit u(x)=1 aufgefasst werden.

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

$f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

berechnet sich an allen Stellen, an denen $\sin(x)\neq 0$ ist, nach obiger Reziprokenregel zu

$f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{{2}}(x)}}$ ,

denn die Kosinusfunktion ist die Ableitung der Sinusfunktion.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de