Lie-Klammer

Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Sei ein Vektorraum über dem Körper . Eine innere Verknüpfung

$[\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V,\quad (x,y)\mapsto [x,y],$

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:

Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also

und

für alle $a, b\in K$ und alle $x, y, z \in V$ .

Es gilt für alle $x\in V$ .
Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt

für alle $x,y,z\in V$ .

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

Eigenschaften

Antisymmetrie

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt [x, y] = -[y, x] für alle $x,y\in V$ . Hat der Körper nicht die Charakteristik , so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft [x, x] = 0 herleiten. Dazu setzt man y=x .

Flexibilität

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term $[[x,y],z]$ muss nicht gleich dem Term $[x,[y,z]]$ sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also $[[x,y],x]=[x,[y,x]]$ für alle Elemente $x,y\in V$ .

Beispiele

Triviale Lie-Klammer

Ist ein beliebiger Vektorraum und sind und zwei Elemente des Raums, dann kann durch

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator

Seien , und drei $n\times n$ -Matrizen mit Einträgen in einem Körper (zum Beispiel dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen oder dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen). Der Kommutator $[\cdot, \cdot ]$ für quadratische Matrizen ist definiert durch

$[A,B] := A \cdot B - B \cdot A$ ,

wobei mit $\cdot$ die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für $\lambda , \mu \in K$ gelten für den Kommutator die Rechenregeln

$\begin{align} \left[\lambda A + \mu B,C \right] &= (\lambda A + \mu B) \cdot C - C \cdot (\lambda A + \mu B)\\ &= \lambda (A\cdot C - C\cdot A) + \mu (B\cdot C-C\cdot B)\\ &= \lambda[A,C] + \mu[B,C]\,,\end{align}$

$[A,A] = A \cdot A - A \cdot A = 0$ und

$\begin{align} \left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right] =& [A, B\cdot C-C\cdot B] + [B,C\cdot A-A\cdot C] + [C,A\cdot B-B\cdot A]\\ =& A\cdot (B\cdot C - C\cdot B) - (B\cdot C-C\cdot B) \cdot A + B\cdot (C\cdot A - A\cdot C)\\ &- (C\cdot A - A\cdot C) \cdot B + C \cdot (A\cdot B-B\cdot A) - (A\cdot B-B\cdot A) \cdot C\\ =&0\,. \end{align}$

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der $n\times n$ -Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

über dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von $\sigma _{1}$ und $\sigma_3$ , so gilt

$\begin{align} \left[\sigma_1 , \sigma_3\right] &= \sigma_1 \cdot \sigma_3 - \sigma_3 \cdot \sigma_1\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= -2 \mathrm i \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}\\ &= -2 \mathrm i \,\sigma_2\,. \end{align}$

Kreuzprodukt

→ Hauptartikel: Kreuzprodukt

Für $a , b \in \R^3$ ist das Kreuzprodukt

$a\times b = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität $a \times a = 0$ können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

$a \times \left(b \times c\right) + b \times \left( c \times a\right) +c\times \left(a \times b\right)$

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern

→ Hauptartikel: Lie-Ableitung

Seien und zwei Vektorfelder auf der -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit . Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

$(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))$ .

Dieser Operator $(X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y$ erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch $[X,Y] := \mathcal{L}_X Y$ .

Jacobi-Klammer

Seien ein kommutativer Ring, eine kommutative Algebra über und $\delta_1, \delta_2 \in \operatorname{Der}(B)$ zwei Derivationen von . Dann ist die durch

$[\delta_1, \delta_2] := \delta_1 \delta_2 - \delta_2 \delta_1$

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.

Poisson-Klammer

→ Hauptartikel: Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer $\{\cdot , \cdot \}$ ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

$\{fg,h\}=f\{g,h\} + \{f,h\}g$

für alle glatten Funktionen , und . Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten $(q_1, \ldots , q_n,p_1, \ldots , p_n)$ hat die Poisson-Klammer die Darstellung

$\{f,g\} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right)$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de