Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als

$\left\{f,g\right\}:=\sum _{k=1}^{s}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\right)}$

mit

und Funktionen der generalisierten Koordinaten $q_{k}$ und der kanonisch konjugierten Impulse $p_{k}$
Anzahl der Freiheitsgrade.

Hamiltonsche Bewegungsgleichung

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen $f(q_{k},p_{k},t)$ eines Hamiltonschen Systems $H(q_{k},p_{k})$ ausgedrückt werden.

Die totale Ableitung nach der Zeit einer beliebigen Observablen $f({\mathbf {q}}(t),{\mathbf {p}}(t),t)$ ist

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\sum_{k=1}^s \left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\mathrm{d}q_k}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\mathrm{d}p_k}{\mathrm{d}t}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}$

und beschreibt die Zeitevolution der Observablen. Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

${\dot {q}}_{k}={\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}$

und

${\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}$

ergibt

${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}=\sum _{{k=1}}^{s}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}\right)+{\frac {\partial f}{\partial t}}$ .

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$ .

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen und , die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen, definiert werden. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

$\{F,G\}_{{ab}}:=\sum _{{k=1}}^{s}\left({\frac {\partial F}{\partial a_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial b_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial b_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial a_{k}}}\right)$ .

Eigenschaften

Bilinearität

$\,\{c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\}=c_{1}\{f_{1},g\}+c_{2}\{f_{2},g\}$

Antisymmetrie

$\{f,g\}=-\{g,f\}\,\Rightarrow \,\{f,f\}=0$

Produktregel

$\,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$

Jacobi-Identität

$\,\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

Invarianz

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte. Damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien $({\mathbf {q}},{\mathbf {p}})$ und $({\mathbf {Q}},{\mathbf {P}})$ zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt

$\{f,g\}_{{{\mathbf {qp}}}}=\{f,g\}_{{{\mathbf {QP}}}}=\{f,g\}$ .

Der Beweis für die Invarianzeigenschaft ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

$\left\{q_{k},p_{l}\right\}=\delta _{{kl}}$

$\left\{q_{k},q_{l}\right\}=0$

$\left\{p_{k},p_{l}\right\}=0$

welche einfach aus den trivialen Beziehungen

${\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{l}}}=\delta _{{kl}}$

${\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{l}}}=0$

${\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{l}}}=0$

${\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{l}}}=\delta _{{kl}}$

folgen.

Dabei ist $\delta_{kl}$ das Kronecker-Delta.

Anwendung

Die Poisson-Klammer kann dazu benutzt werden, um die zeitliche Änderung von Observablen durch die Dynamik des Systems zu bestimmen. Es gilt für eine Observable $f({\mathbf {q({\mathrm {t}})}},{\mathbf {p({\mathrm {t}})}},t)$

${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},$

Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable $f({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)$ ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn

$0=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$

gilt. Ist nicht explizit zeitabhängig, wird daraus

$\,0=\{f,H\}$

Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

${\dot {\rho }}=\{H,\rho \}.$

In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer durch $\textstyle \left(-{\frac {{{\rm {i}}}}{\hbar }}\right)$ mal den Kommutator ersetzt.

$\{H,f\}\rightarrow -{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {f}}]$

Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator ${\hat {H}}$ im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.

Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.

Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit in lokalen Koordinaten durch $\textstyle \omega =\sum _{{ij}}\omega _{{ij}}\,{\mathrm d}x^{i}\wedge {\mathrm d}x^{j}$ gegebener symplektischer Form die Poisson-Klammer der Funktionen und durch

$\{f,g\}=\sum _{{ij}}\omega ^{{ij}}\,\partial _{i}f\,\partial _{j}g\,.$

Siehe auch

Kanonische Transformation

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de