Heisenbergsche Bewegungsgleichung
Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Bewegungsgleichung oder Heisenberg-Gleichung, bestimmt die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung. Sie wurde von Werner Heisenberg in den 1920er Jahren entwickelt und ist Teil des Heisenberg-Bildes der Quantenmechanik. Der wesentliche Unterschied zur Formulierung der Quantenmechanik über die Schrödingergleichung ist, dass in diesem Fall die Zustände die zeitliche Dynamik tragen und die Operatoren konstant sind, hingegen in der Heisenberg-Darstellung die Operatoren die zeitliche Dynamik tragen, während der Zustandsvektor, auf den die Operatoren wirken, zeitlich konstant ist. Daher ist die heisenbergsche Formulierung näher an der klassischen Mechanik, was sich auch durch die formale Ähnlichkeit der klassischen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt mit Hilfe der Poisson-Klammern zeigt.
Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ersetzt im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung des Schrödinger-Bildes.
Die Bewegungsgleichung selbst lautet:
wobei
der Hamilton-Operator
des Systems im Heisenberg-Bild und
ein Kommutator
ist. Zur Kennzeichnung des Bildes wird jeweils der Index "H" für das
Heisenbergbild und "S" für das Schrödingerbild eingefügt.
Wenn eine Observable
im Schrödingerbild nicht explizit zeitabhängig ist
und zudem mit dem Hamiltonoperator vertauscht, sind die Eigenwerte des Operators
eine Erhaltungsgröße.
Bewegungsgleichung für Erwartungswerte
Da im Heisenbergbild die Zustände zeitunabhängig sind
kann man sofort die Heisenberggleichung der Erwartungswerte angeben:
Aufgrund der Invarianz des Skalarprodukts unter Bildwechsel (die Erwartungswerte eines Operators sind in allen Bildern gleich), kann man die Gleichung bildunabhängig schreiben:
Diese Gleichung ist als Ehrenfest-Theorem bekannt.
Äquivalenz zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung
Im Folgenden wird ausgehend von der Schrödingergleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung abgeleitet. Die umgekehrte Richtung ist ebenfalls möglich.
Der Darstellungswechsel eines Operators vom Schrödinger- ins Heisenbergbild geschieht über
wobei
der Zeitentwicklungsoperator
und
sein adjungierter
Operator ist.
Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators
auf einen Zustandsvektor
im Schrödingerbild zum Zeitpunkt
erhält man den Zustandsvektor zum Zeitpunkt
.
Im Folgenden wird stets die abkürzende Schreibweise
verwendet:
Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion
in die Schrödingergleichung
liefert:
Man bekommt eine zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:
Vom Operator
wird die Zeitableitung gebildet, wobei die Produktregel angewandt wird:
Nun werden obige Operatorgleichungen und deren adjungierte
und
eingesetzt:
Zusammenfassen:
Nun schiebt man geschickt eine
zwischen
und zwischen
ein:
Mit dem Kommutator lässt sich die Heisenbergsche Bewegungsgleichung kompakt schreiben:



© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.01. 2021