Stetigkeit (Topologie)

In der Topologie bezeichnet man Funktionen oder Abbildungen als stetig, wenn diese bestimmte Morphismen zwischen topologischen Räumen sind, die die topologische Struktur in einem gewissen Sinne erhalten. Deshalb sind sie auch von besonderem Interesse. Die Definitionen von Stetigkeit in anderen Teilgebieten der Mathematik leiten sich aus der Definition in der Topologie ab. Die Stetigkeit ist grundlegend für den in der Topologie wichtigen Begriff des Homöomorphismus: eine bijektive stetige Funktion ist genau dann homöomorph, wenn auch ihre Umkehrfunktion stetig ist.

Nicht stetige Funktionen oder Abbildungen heißen unstetig.

Eng verwandt mit dem Begriff der Stetigkeit sind die Begriffe der gleichmäßigen Stetigkeit, der gleichgradigen Stetigkeit und auch der Begriff der Beschränktheit linearer Operatoren.

Definitionen

Da man topologische Räume auf unterschiedliche (aber äquivalente) Weise definieren kann, existieren auch mehrere gleichwertige Definitionen der Stetigkeit. Im Folgenden finden sich bei jeder Definition mehrere Varianten, die sich durch ihren Grad an Formalisierung unterscheiden.

Offene Mengen

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild unter f von jeder in Y offenen Menge O wieder offen in X ist.
$f\colon X\rightarrow Y$ stetig $\Leftrightarrow\ \forall O \in \mathcal{O}_Y : f^{-1}(O) \in \mathcal{O}_X$ (wobei $\mathcal{O}_J$ die Topologie des Raumes J, also die Menge der offenen Mengen des topologischen Raumes ist)

Abgeschlossene Mengen

Die Stetigkeit kann durch abgeschlossene Mengen definiert werden, indem man „offene Mengen“ in obiger Definition durch „abgeschlossene Mengen“ ersetzt:

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen wiederum abgeschlossene Mengen sind.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild unter f von jeder in Y abgeschlossene Menge A wieder abgeschlossen in X ist.
$f\colon X\rightarrow Y$ stetig $\Leftrightarrow\ \forall O \in \mathcal{O}_Y : X \setminus f^{-1}(Y \setminus O) \in \mathcal{O}_X$

Umgebungen

Sei $\mathcal{U}(x)$ die Menge aller Umgebungen eines Punktes x.

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für jeden Punkt gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann ist f genau dann stetig, wenn für jeden Punkt x in X gilt: Ist U eine Umgebung von , dann gibt es eine Umgebung V von x, so dass in U enthalten ist.
$f\colon X\rightarrow Y$ stetig $\Leftrightarrow\ \forall x \in X\ \forall U \in \mathcal{U}(f(x)) \exists V \in \mathcal{U}(x): f(V) \subseteq U$

Netze

Für eine gerichtete Menge $(I,\triangleleft)$ und eine Menge ist ein Netz eine Abbildung $x\colon I \to X$ . Meist schreibt man analog zu Folgen $(x_i)_{i\in I}$ . Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung $f\colon X \to Y$ ist genau dann stetig, wenn für alle $x \in X$ gilt: Für jedes in X gegen konvergente Netz $(x_i)_{i\in I}$ konvergiert das Netz $\left(f(x_i)\right)_{i\in I}$ in Y gegen
$f\colon X \to Y$ stetig $\Leftrightarrow\ \forall x \in X\colon \left((x_i)_{i\in I} \longrightarrow_X x \Rightarrow \left(f(x_i)\right)_{i\in I} \longrightarrow_Y f(x)\right).$

Abschluss

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn das Bild des Abschlusses einer beliebigen Teilmenge im Abschluss des Bildes dieser Teilmenge enthalten ist.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann ist f genau dann stetig, wenn für jede Teilmenge A von X gilt: das Bild des Abschlusses von A liegt im Abschluss des Bildes von A.
$f\colon X\rightarrow Y$ stetig $\Leftrightarrow\ \forall A \subseteq X: f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$

Eigenschaften von stetigen Funktionen

Wenn $f\colon X \to Y$ und $g\colon Y \to Z$ stetige Funktionen sind, dann ist die Komposition $g \circ f\colon X \to Z$ auch stetig.
Wenn stetig und
- X kompakt ist, dann ist kompakt.
- X zusammenhängend ist, dann ist zusammenhängend.
- X wegzusammenhängend ist, dann ist wegzusammenhängend.

Anmerkungen

Für eine Definitionsmenge mit der diskreten Topologie ist jede Funktion $f\colon X \to Y$ in einen beliebigen Raum stetig.
Für eine Zielmenge mit der indiskreten Topologie ist jede Funktion $f\colon X \to Y$ in diesen Raum stetig.
Für eine Definitionsmenge mit der indiskreten Topologie und eine Zielmenge, die ein T₀-Raum ist, sind die konstanten Funktionen die einzigen stetigen Funktion.
Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Betrachtet man bei einer Funktion nicht wie bei der Stetigkeit die Urbilder, sondern die Bilder der Funktion, so gelangt man zu den Begriffen der offenen bzw. abgeschlossenen Abbildung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de