Bild (Mathematik)

Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}

Bei einer mathematischen Funktion ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge , die auf tatsächlich annimmt.

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge oder Wertebereich benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der ganzen Zielmenge verwendet werden.

Definition

Üblichste Notation

Für eine Funktion $f\colon X\to Y$ und eine Teilmenge von bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

$f(M):=\{f(x)\mid x\in M\}$

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter , also:

$\operatorname {Bild} (f):=f(X)$

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel:

$\mathrm {Bild} (f)=\{A,B,D\}$

Alternative Notationen

Für wird auch die Notation verwendet, um kenntlich zu machen, dass nicht auf als Ganzem, sondern elementweise auf die Mitglieder dieser Menge anzuwenden ist. Als weitere Bezeichnungsweise kommt gelegentlich $f''M$ vor.

Für $\operatorname {Bild} (f)$ ist auch die englische Bezeichnung $\operatorname {im} f$ („im“ vom englischen Wort image) gebräuchlich.

Beispiele

Wir betrachten die Funktion $f\colon {\mathbb {Z}}\to {\mathbb {Z}}$ (ganze Zahlen) mit f(x) := x^2 .

Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:

$f(\{1,2,3\})=\{1,4,9\}\$

$f(\{-3,-2,-1\})=\{1,4,9\}\$

$f(\{-3,-2,-1,1,2,3\})=\{1,4,9\}\$

Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

$\operatorname {Bild} (f)=\{0,1,4,9,16,25,36,49,\dotsc \}\$

Eigenschaften

Es sei $f\colon X\to Y$ eine Funktion und und seien Teilmengen von :

$f(\varnothing )=\varnothing$
$M\subseteq N\implies f(M)\subseteq f(N)$
ist genau dann surjektiv, wenn $\operatorname {Bild} (f)=Y$ .
$f(M\cup N)=f(M)\cup f(N)$
$f(M\cap N)\subseteq f(M)\cap f(N)$
Ist injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige nichtleere Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de