Fresnelsche Formeln

Die fresnelschen Formeln (nach Augustin Jean Fresnel) beschreiben quantitativ die Reflexion und Transmission einer ebenen, elektromagnetischen Welle an einer ebenen Grenzfläche. Der zunächst berechnete Reflexions- und Transmissionsfaktor ist das Verhältnis der reflektierten bzw. transmittierten Amplitude zu jener der einfallenden Welle. Durch Quadrieren erhält man den Reflexions- bzw. den Transmissionsgrad, welche als Energiegrößen Intensitätsverhältnisse darstellen.

Vorbetrachtungen

Die fresnelschen Formeln können aus den maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden, dabei nutzt man Sonderfälle der Randbedingungen elektromagnetischer Wellen an einer ladungs- und stromfreien Grenzschicht:

${\vec {n}}\times ({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1})=0$	${\vec {n}}\times ({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1})=0$
${\vec {n}}\cdot ({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1})=0$	${\vec {n}}\cdot ({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1})=0$

Hierbei ist ${\vec {n}}$ die Normale auf die Grenzfläche und die anderen Größen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien. Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Feldstärke H sind an der Grenzfläche stetig, ebenso wie die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte D und der magnetischen Flussdichte B (tangential und normal bezieht sich auf die Grenzfläche).

Abhängig von der Polarisation der einfallenden Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen für das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzfläche. Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Als Bezugsebene dient die Einfallsebene, die vom Wellenvektor ${\vec {k_{e}}}$ der einfallenden Welle und der Flächennormalen ${\vec {n}}$ aufgespannt wird. Eine einfallende, beliebig polarisierte Welle lässt sich also als Superposition einer parallel (p) und senkrecht (s) zur Einfallsebene polarisierten Welle schreiben:

${\vec {E}}=\left[(E_{0e})_{s}\ {\vec {e}}_{s}\ e^{i\delta _{s}}+(E_{0e})_{p}\ {\vec {e}}_{p}\ e^{i\delta _{p}}\right]\ e^{i({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}=(E_{0e})_{s}\ {\vec {e}}_{s}\ e^{i({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\delta _{s})}+(E_{0e})_{p}\ {\vec {e}}_{p}\ e^{i({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\delta _{p})}$

Dabei ist ${\vec {E}}$ der Feldvektor des elektrischen Feldes, ${\vec {e}}_{i}$ sind die Einheitsvektoren für s- und p-Polarisation, und die Parameter $\delta _{i}$ entsprechen beliebigen Phasenverschiebungen.

Wegen des Superpositionsprinzips reicht es aus, die Amplitudenverhältnisse für parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierte Wellen zu berechnen.

Die Polarisationsrichtung (senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene) bleibt nach der Reflexion unverändert.

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivität $\varepsilon _{r}$ und Permeabilität $\mu _{r}$ sowie einen komplexen Brechungsindex

$N=n+\mathrm {i} K\,$ .

Vorbetrachtung für Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel

Im Allgemeinen sind für die Berechnung der Reflexions- bzw. Transmissionsgrade mit den fresnelschen Formeln sowohl der Brechungsindex der beteiligten Medien als auch der Einfalls- und Brechungswinkel notwendig.

Um neben diesen allgemeinen Gleichungen auch eine vom Brechungswinkel unabhängige Form anzugeben, muss der Brechungswinkel aus der allgemeinen Form eliminiert werden. Da beide Winkel ( $\alpha$ und $\beta$ ) über das snelliussche Brechungsgesetz verknüpft sind, kann dies wie folgt (mit Hilfe einer Falleingrenzung) erreicht werden:

$N_{1}\sin \alpha =N_{2}\sin \beta \,$ (Brechungsgesetz)

Quadrieren liefert (unter Nutzung einer trigonometrischen Umrechnung) folgenden Zusammenhang:

$N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha =N_{2}^{2}\sin ^{2}\beta =N_{2}^{2}\left(1-\cos ^{2}\beta \right)$

Umgestellt ergibt sich daraus:

$\cos \beta =\pm {\frac {\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}{N_{2}}}$

Als Lösung wird der Fall mit dem positiven Vorzeichen genutzt, damit später der Reflexionsfaktor r ≤ 1 ist.

Senkrechte Polarisation

Bei der senkrechten Polarisation bildet die elektrische Komponente mit der Einfallsebene einen rechten Winkel.

Als erstes betrachtet man die Komponente, die linear senkrecht (Index: s) zur Einfallsebene polarisiert ist. Sie wird in der Literatur auch als transversalelektrische (TE) Komponente bezeichnet.

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2N_{1}\cos \alpha }{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}N_{2}\cos \beta }}={\frac {2N_{1}\cos \alpha }{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}$

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {N_{1}\cos \alpha -{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}N_{2}\cos \beta }{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}N_{2}\cos \beta }}={\frac {N_{1}\cos \alpha -{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{N_{1}\cos \alpha +{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}$

Mit dem Transmissionsfaktor $t_{s}$ , Reflexionsfaktor $r_{s}$ und den relativen magnetischen Permeabilitäten $\mu _{r1}$ bzw. $\mu _{r2}$ . Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das elektrische Feld.

Parallele Polarisation

Bei paralleler Polarisation schwingt die elektrische Komponente in der Einfallsebene.

Koordinatensystem für die Messung der E-Vektoren

Im anderen Fall wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear parallel (Index: p) polarisierten Welle betrachtet. Sie wird in der Literatur auch als transversalmagnetische (TM) Komponente bezeichnet. Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das magnetische Feld.

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}=t_{p}={\frac {2N_{1}\cos \alpha }{N_{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}\cos \beta }}={\frac {2N_{1}N_{2}\cos \alpha }{N_{2}^{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}$

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}=r_{p}={\frac {N_{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha -N_{1}\cos \beta }{N_{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}\cos \beta }}={\frac {N_{2}^{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha -N_{1}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{N_{2}^{2}{\frac {\mu _{r1}}{\mu _{r2}}}\cos \alpha +N_{1}{\sqrt {N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}}}$

Die Richtungen der elektrischen Feldvektoren ${\vec {E}}_{r}$ bzw. ${\vec {E}}_{t}$ entsprechen den Richtungen der Vektoren ${\vec {n}}_{e}\times {\vec {k}}_{r}$ bzw. ${\vec {n}}_{e}\times {\vec {k}}_{t}$ , wobei ${\vec {n}}_{e}$ der Normalenvektor der Einfallsebene ist.

Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität

Für den in der Praxis häufigen Spezialfall, dass die beteiligten Materialien näherungsweise die gleiche magnetische Permeabilität besitzen ( $\mu _{r1}=\mu _{r2}$ ), z.B. $\mu _{r}=1$ für nicht magnetische Materialien, vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:

Senkrechte Polarisation (TE)

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2N_{1}\cos {\alpha }}{N_{1}\cos {\alpha }+N_{2}\cos {\beta }}}$

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {N_{1}\cos {\alpha }-N_{2}\cos {\beta }}{N_{1}\cos {\alpha }+N_{2}\cos {\beta }}}$

Parallele Polarisation (TM)

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}=t_{p}={\frac {2N_{1}\cos {\alpha }}{N_{2}\cos {\alpha }+N_{1}\cos {\beta }}}$

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}=r_{p}={\frac {N_{2}\cos {\alpha }-N_{1}\cos {\beta }}{N_{2}\cos {\alpha }+N_{1}\cos {\beta }}}$

Spezialfall: dielektrische Materialien

Amplitudenverhältnisse ,

(oben) und Reflexions-/ Transmissionsvermögen , (unten) für die Grenzfläche Luft

und Glas

( $\mu _{1}=\mu _{2}=1$ und $\kappa _{1}=\kappa _{2}=0$ ). Auf Grenzfläche einfallendes Licht von der Luftseite (links) und von der Glasseite (rechts).

Ein weiterer Spezialfall ergibt sich für ideale Dielektrika, bei denen der Absorptionskoeffizient $\kappa$ des komplexen Brechungsindex gleich null ist. Das heißt, das Material auf beiden Seiten der Grenzfläche absorbiert die entsprechende elektromagnetische Strahlung nicht ( $k_{1}=k_{2}=0$ ). Es gilt:

$N_{i}=n_{i}(1+\mathrm {i} \kappa _{i})=n_{i}+\mathrm {i} k_{i}\quad {\xrightarrow[{}]{k_{i}=0}}\quad N_{i}=n_{i}$

Durch den Wegfall des Imaginärteils vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:

Senkrechte Polarisation (TE)

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2n_{1}\cos {\alpha }}{n_{1}\cos {\alpha }+n_{2}\cos {\beta }}}={\frac {2\sin {\beta }\cos {\alpha }}{\sin {(\alpha +\beta )}}}$

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {n_{1}\cos {\alpha }-n_{2}\cos {\beta }}{n_{1}\cos {\alpha }+n_{2}\cos {\beta }}}=-{\frac {\sin {(\alpha -\beta )}}{\sin {(\alpha +\beta )}}}$

Parallele Polarisation (TM)

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}=t_{p}={\frac {2n_{1}\cos {\alpha }}{n_{2}\cos {\alpha }+n_{1}\cos {\beta }}}={\frac {2\sin {\beta }\cos {\alpha }}{\sin {(\alpha +\beta )}\cos {(\alpha -\beta )}}}$

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}=r_{p}={\frac {n_{2}\cos {\alpha }-n_{1}\cos {\beta }}{n_{2}\cos {\alpha }+n_{1}\cos {\beta }}}={\frac {\tan {(\alpha -\beta )}}{\tan {(\alpha +\beta )}}}$

Hinweis: Das zweite Gleichheitszeichen ergibt sich durch Anwenden des Brechungsgesetzes ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}$ und Additionstheoremen. Die dabei getroffenen Annahmen sind für Einfallswinkel von 0° und 90° nicht gültig und die Formeln können daher nicht genutzt werden. Hierfür muss die ursprüngliche Form aus reinen Kosinustermen verwendet werden

Senkrechter Einfall

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich für den Fall, dass der Einfallswinkel α gleich 0 ist (senkrechter Einfall):

$\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{s}=r_{s}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}=-r_{p}=-\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{p}$

$\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{s}=t_{s}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}=t_{p}=\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{p}$

Fällt beispielsweise sichtbares Licht senkrecht auf die Grenzfläche Luft/Quarzglas, dann wird der Anteil

$R=r_{s}^{2}=(-r_{p})^{2}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {1-1{,}46}{1+1{,}46}}\right)^{2}=0{,}035=3{,}5\,\%$

der einfallenden Intensität unabhängig von der Polarisation reflektiert (vgl. Abschnitt Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad).

Diskussion der Amplitudenverhältnisse

Partielle Reflexion und Transmission einer eindimensionalen Welle an einer Potentialstufe. Der Anteil der reflektierten und transmittierten Intensität einer elektromagnetischen Welle lässt sich mit den Fresnelschen Formeln berechnen.

Dort, wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind, tritt ein Phasensprung von $180^{\circ }=\pi$ auf (bei reell und positiv keine Phasenänderung):

$r=-|r|=|r|\cdot e^{i\pi }$

Das Amplitudenverhältnis $r_{p}$ besitzt einen Nulldurchgang am Brewster-Winkel $\alpha _{\text{B}}$ :

$r_{p}={\frac {\tan(\alpha -\beta )}{\tan(\alpha +\beta )}}=0$ genau bei $\alpha +\beta =90{}^{\circ }$

${\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha }{\sin(90{}^{\circ }-\alpha )}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha$ also $\alpha _{\text{B}}=\arctan {\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Beispiele: Brewster-Winkel für Luft-Glas ${\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}={\tfrac {1{,}5}{1}}$ ist $\alpha _{\text{B}}=56{,}3{}^{\circ }$ und für Glas-Luft ${\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}={\tfrac {1}{1{,}5}}$ ist $\alpha _{\text{B}}=33{,}7{}^{\circ }$ .

Für $n_{2}<n_{1}$ werden ab einem bestimmten Winkel die Amplitudenverhältnisse komplex. Ab diesem kritischen Winkel oder Grenzwinkel tritt Totalreflexion auf. Der Grenzwinkel $\alpha _{\text{c}}$ entspricht dem Brechungswinkel $\beta =90{}^{\circ }$ also $\sin \beta =1$ , d.h., die Welle läuft an der Grenzfläche entlang.

${\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin 90{}^{\circ }}}=\sin \alpha$ also $\alpha _{\text{c}}=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Beispiel: Grenzwinkel für Glas-Luft ${\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}={\tfrac {1}{1{,}5}}$ ist $\alpha _{\text{c}}=41{,}8{}^{\circ }$ .

Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad

Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials ( $n_{1}+\mathrm {i} k_{1}$ ) auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material

Man betrachte ein Strahlenbündel, das auf die Grenzfläche eines isotropen, nicht-magnetischen Materials der Fläche einfällt. Die Strahlquerschnitte des einfallenden, reflektierten bzw. transmittierten Strahls sind $A\cos \alpha$ , $A\cos \alpha$ bzw. $A\cos \beta$ . Die Energie, die pro Zeit- und Flächeneinheit durch eine Fläche fließt, deren Normale parallel zur Energieflussrichtung ${\vec {S}}$ (bei isotropen Medien gleich Ausbreitungsrichtung ${\vec {k}}$ ) steht, ist gegeben durch den komplexen Poynting-Vektor ${\vec {\underline {S}}}$ :

${\vec {\underline {S}}}={\vec {\underline {E}}}\times {\vec {{\underline {H}}^{*}}}$

Die mittlere Energieflussdichte erhält man durch zeitliche Mittelwertbildung und einigen Umformungen:

$I=\left\langle S\right\rangle ={\frac {1}{2}}\Re \left\lbrace {\vec {\underline {E}}}\times {\vec {{\underline {H}}^{*}}}\right\rbrace ={\frac {1}{2}}\Re \left\lbrace {\sqrt {\frac {\underline {\varepsilon }}{\underline {\mu }}}}{\vec {\underline {E}}}\times {\vec {{\underline {E}}^{*}}}\right\rbrace ={\frac {1}{2}}\Re \left\lbrace {\sqrt {\frac {\underline {\varepsilon }}{\underline {\mu }}}}\right\rbrace \left|E_{0}\right|^{2}={\frac {\varepsilon _{0}c}{2}}\Re \left\lbrace N\right\rbrace \left|E_{0}\right|^{2}$

Die mittlere Energie, die pro Zeiteinheit vom Strahlenbündel transportiert wird (mittlere Leistung, die auf Fläche trifft), entspricht der mittleren Energieflussdichte mal der Querschnittsfläche, also

$I_{e}A\,\cos \alpha$ , $I_{r}A\,\cos \alpha$ bzw. $I_{t}A\,\cos \beta$ .

Allgemein (unpolarisiertes Licht) wird der Reflexionsgrad (oft auch mit ρ bezeichnet) folgendermaßen definiert:

$R={\frac {\text{reflektierte Leistung}}{\text{eingestrahlte Leistung}}}={\frac {P_{r}}{P_{e}}}=\left|{\frac {A\left\langle {\vec {S}}_{r}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}{A\left\langle {\vec {S}}_{e}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}}\right|=\left|{\frac {I_{r}A\cos \alpha }{I_{e}A\cos \alpha }}\right|=\left|{\frac {\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{1}\right\rbrace \cos \alpha }{\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}\right|\cdot \left|{\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right|^{2}=\left|{\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right|^{2}$

und als Transmissionsgrad (oft auch mit τ bezeichnet):

$T={\frac {\text{transmittierte Leistung}}{\text{eingestrahlte Leistung}}}={\frac {P_{t}}{P_{e}}}=\left|{\frac {A\left\langle {\vec {S}}_{t}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}{A\left\langle {\vec {S}}_{e}\right\rangle \cdot {\vec {n}}}}\right|=\left|{\frac {I_{t}A\cos \beta }{I_{e}A\cos \alpha }}\right|=\left|{\frac {\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{2}\right\rbrace \cos \beta }{\Re \left\lbrace {\underline {N}}_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}\right|\cdot \left|{\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right|^{2}$

Die beiden Werte lassen sich nun mit Hilfe der fresnelschen Formeln berechnen, sie sind das Produkt des entsprechenden Reflexions- bzw. Transmissionsfaktors mit dessen konjugiert komplexem Wert.

$R_{i}=\left|\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}=r_{i}\cdot {\bar {r}}_{i}$

$T_{i}=\left|\Re {\biggl (}{\frac {\left\lbrace N_{2}\right\rbrace \cos \beta }{\left\lbrace N_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}{\Biggr )}\right|\cdot \left|\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}=\left|\Re {\biggl (}{\frac {\left\lbrace N_{2}\right\rbrace \cos \beta }{\left\lbrace N_{1}\right\rbrace \cos \alpha }}{\Biggr )}\right|t_{i}\cdot {\bar {t}}_{i}$

Für ideale Dielektrika, die keine Absorption und daher nur reellwertige Brechungsindizes aufweisen, vereinfachen sich die Gleichungen zu:

$R_{i}=\left|\left({\frac {E_{0r}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}=r_{i}^{2}$

$T_{i}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}{\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}\left|\left({\frac {E_{0t}}{E_{0e}}}\right)_{i}\right|^{2}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}{\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}t_{i}^{2}={\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}t_{i}^{2}$

mit für die s- bzw. p-polarisierte Komponente.

Darüber hinaus sind der Reflexions- und Transmissionsgrad über folgende allgemeine Energiestrombilanz an einer Grenzfläche (keine Absorption, d.h. Absorptionsgrad ist null) miteinander verknüpft:

$T_{i}+R_{i}=1$ .

Literatur

Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-20509-8.
Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2.
Karl J. Ebeling: Integrierte Optoelektronik: Wellenleiteroptik, Photonik, Halbleiter. 2. Auflage, Springer. Berlin 1998, ISBN 3-540-54655-3.

Basierend auf Artikeln in:

Wikipedia.de