Logarithmische Normalverteilung
Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen , wenn normalverteilt ist. Umgekehrt, wenn normalverteilt ist, so ist logarithmisch normalverteilt.
Im Gegensatz zu einer normalverteilten Zufallsvariablen, die nach dem zentralen Grenzwertsatz als Summe vieler verschiedener Zufallsvariablen aufgefasst werden kann, entsteht eine logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable durch das Produkt vieler positiver Zufallsvariablen. Somit ist die logarithmische Normalverteilung die einfachste Verteilungsart für multiplikative Modelle.
Definition
Dichtefunktion
Eine stetige Zufallsvariable unterliegt der logarithmischen Normalverteilung mit den Parametern und , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Zweidimensionale Log-Normalverteilung
Sind und zwei log-normalverteilte Zufallsvariable, dann ist mit dem transformierten Korrelationskoeffizienten
deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als
- .
Verteilungsfunktion
Damit hat die logarithmische Normalverteilung für die Verteilungsfunktion
- ,
wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf doppelt logarithmisch geteiltem Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade.
Eigenschaften
Logarithmus
Der Logarithmus von ist normalverteilt, denn
mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Maximum
Die Wahrscheinlichkeitsdichte nimmt ihren maximalen Wert
an der Stelle an.
Erwartungswert
Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt
Varianz
Die Varianz ergibt sich analog zu
- .
Standardabweichung
Für die Standardabweichung ergibt sich
- >.
Variationskoeffizient
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
- .
Schiefe
Die Schiefe ergibt sich zu
- ,
d.h., die Lognormalverteilung ist rechtsschief.
Quantile
Ist das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d.h. , wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Logarithmischen Normalverteilung gegeben durch
- .
Insbesondere ist der Median, d.h. der Wert, bei dem die Verteilungsfunktion den Wert 0,5 annimmt, gegeben durch
- .
Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i.a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor . Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Lognormalverteilung hoch.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion ist für die logarithmische Normalverteilung nicht explizit darstellbar.
Momente
Für die logarithmische Normalverteilung existieren alle Momente und es gilt:
- .
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion existiert nicht für die logarithmische Normalverteilung.
Entropie
Die Entropie der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in nats) beträgt
- .
Beziehungen zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Normalverteilung
Der Logarithmus einer logarithmisch-normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist eine -verteilte reelle Zufallsvariable (d.h. normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz ), so ist die Zufallsvariable Log-normalverteilt mit diesen Parametern und , allerdings bilden diese Parameter nicht Erwartungswert und Varianz von . Ist ein bestimmter Erwartungswert und eine bestimmte Varianz gewünscht, so kann man dies leicht durch die folgenden Formeln erreichen:
- und
- oder direkt
Anwendungen
Black-Scholes-Modell
Im Black-Scholes-Modell folgen Aktienkurse einer geometrischen brownschen Bewegung und sind damit logarithmisch normalverteilt. In diesem Modell lassen sich explizit Preise von Finanzoptionen bestimmen.
Einkommensverteilung
Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Ein Grund ist, dass es relativ wenig bestbezahlte Stellen gegenüber sehr vielen Arbeitsstellen mit eher geringem Einkommen gibt, wobei besonders niedrige Einkommen wieder seltener werden. Das entspricht genau dem Verlauf der meisten Lognormalverteilungen. Dieser Umstand kann in jedem operativ funktionierenden Unternehmen überprüft werden.
Schätzung von Umsatzziffern von Unternehmen
Die Logarithmen aller Fakturenbeträge eines Unternehmens folgen annähernd einer Normalverteilung. Der Abstand zwischen dem Logarithmus des kleinsten und dem Logarithmus des größten Fakturenbetrages repräsentiert annähernd die 6-fache Standardabweichung der Normalverteilung der Logarithmen. Dadurch ist es möglich, auf den Mittelwert oder Erwartungswert der Fakturenbeträge (s.o.) der Lognormalverteilung zu schließen. Multiplikation dieses Mittelwertes mit der Anzahl der gültigen Fakturen ergibt in den meisten Fällen einen akzeptablen Schätzwert für die Größenordnung des Umsatzes eines Unternehmens; wertmäßig liegt er tendenziell zu hoch: Da für solche Schätzungen häufig auch das benfordsche Gesetz gelten sollte, sollte in diesen Fällen auch die Benford-Verteilung zu Rate gezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass die Größenordnungen (Stellenwerte) der Rechnungsbeträge nicht gleichverteilt, sondern annähernd normalverteilt sind.
Versicherungsmathematik
In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Schadensanzahl häufig mit Hilfe von Zufallsvariablen modelliert, die der Poisson-Verteilung oder der Negativ-Binomialverteilung genügen. Dagegen eignen sich zur Modellierung der Schadenshöhe insbesondere die Gammaverteilung, die Log-Gammaverteilung oder die Log-Normalverteilung.
Die logarithmische Normalverteilung wird wegen der oben besprochenen Schiefe und der damit verbundenen Großschadenneigung bei der Modellierung von Risiken häufig als Verteilung der Schadenshöhe eingesetzt. Sind der Erwartungswert E und die Standardabweichung stdev vorgegeben, so erhält man die Parameter der logarithmischen Normalverteilung wie folgt:
und
- .
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.11. 2022