Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

Definition

Sind zwei Halbordnungen $(G,\leq _{G})$ und $(H,\leq _{H})$ gegeben, so heißt eine Abbildung

$\psi :G\rightarrow H$

ein Ordnungsisomorphismus, wenn $\psi$ eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung $\psi ^{{-1}}$ ebenfalls eine isotone Abbildung ist.

Existiert zwischen und ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit $G \cong H$ ausdrücken und und werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

Beispiele

Die identische Abbildung $\operatorname {id}_{G}:G\rightarrow G,a\mapsto a$ einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
Sei eine Funktion, die von $\mathbb {N}$ in die Menge aller Quadratzahlen abbildet:
$Q=\left\{n^{2}\mid n\in {\mathbb {N}}\right\}\subset {\mathbb {N}}$
Die Funktion lautet neu: $g:{\mathbb {N}}\rightarrow Q,x\mapsto x^{2}$
Von dieser neuen Funktion existiert auch eine Umkehrfunktion: $g^{{-1}}:Q\rightarrow {\mathbb {N}},x\mapsto {\sqrt {x}}$
Somit ist bijektiv. Weil bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen $({\mathbb {N}},\leq )$ und $(Q,\leq )$ total sind, so ist auch ein Ordnungsisomorphismus.
Die identische Abbildung $\operatorname {id}_{{\mathbb {R}}}:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}},x\mapsto x$ ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen $({\mathbb {R}},\leq )$ und $({\mathbb {R}},\geq )$ .
Die Funktion des additiv inversen Elementes $f:M\rightarrow M,x\mapsto -x$ ist eine Involution und damit auch eine Bijektion. ist eine antitone Abbildung von $(M,\leq )$ in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von $(M,\leq )$ nach $(M,\geq )$ . Des Weiteren ist gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen $M={\mathbb {Z}}$ , die rationalen Zahlen $M={\mathbb {Q}}$ und für die reellen Zahlen $M={\mathbb {R}}$ zu.
Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln $(a_{1},\cdots ,a_{n})\leq ^{n}(b_{1},\cdots ,b_{n}):\Longleftrightarrow \forall i\in [1,n]\cap {\mathbb {N}}:a_{i}\leq b_{i}$ bildet für $n\geq 2$ eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion $\Psi :{\mathbb {R}}^{2}\rightarrow {\mathbb {R}}^{2},(x,y)\mapsto (2x,2y)$ ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet $\Psi ^{{-1}}:{\mathbb {R}}^{2}\rightarrow {\mathbb {R}}^{2},(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{2}},{\frac {y}{2}}\right)$ . Auf $({\mathbb {R}}^{2},\leq ^{2})$ ist außerdem sowohl $\Psi$ als auch $\Psi ^{{-1}}$ isoton, was $\Psi$ und $\Psi ^{{-1}}$ als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind $\mathbb {R} ^{2}$ , – auszeichnet.

Komposition

Sei $f:U\rightarrow V$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen $(U,\leq _{U})$ und $(V,\leq _{V})$ und sei $g:V\rightarrow W$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen $(V,\leq _{V})$ und $(W,\leq _{W})$ , so ist auch $f\circ g:U\rightarrow W$ ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen $(U,\leq _{U})$ und $(W,\leq _{W})$ . Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von gleich der Zielmenge von ist.

Eigenschaften

Es gilt wegen der Bijektivität, dass

$\forall a\in G:a=\psi ^{{-1}}\left(\psi (a)\right)$

gilt und ebenso:

$\forall a\in H:a=\psi \left(\psi ^{{-1}}(a)\right)$

Sind $(G,\leq _{G})$ und $(H,\leq _{G})$ Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion $\gamma :G\rightarrow H$ , so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw. $\gamma ^{{-1}}$ ist auch isoton.
Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:

$\left(M,\leq _{M}\right)\cong \left(\left\{1,\dots ,\left|M\right|\right\},\leq \right)$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de