Endliche Menge

In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine endliche Menge eine Menge mit endlich vielen Elementen. So ist beispielsweise die Menge

$M\,=\,\{4,6,2,8\}$

eine endliche Menge mit vier Elementen. Die leere Menge hat per definitionem keine Elemente, d.h. die Anzahl der Elemente (Kardinalität oder Mächtigkeit) ist $0$ , sie gilt daher auch als endliche Menge. Die Kardinalität (geschrieben |M| für eine Menge ) einer endlichen Menge wird mit einer natürlichen Zahl (unter Einbeziehung der Null) identifiziert, beispielsweise schreibt man dann |M|=4 , um auszudrücken, dass aus vier Elementen besteht.

Eine Menge, die nicht endlich ist, wird als unendliche Menge bezeichnet.

Definition

Die durch die roten Pfeile angedeutete Bijektion zeigt $|M|=|M_{4}|$ und somit die Endlichkeit von

Eine Menge heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl gibt, sodass eine Bijektion (eine Eins-zu-eins-Zuordnung)

$f\colon M\rightarrow\{0,\dotsc,n-1\}$

zwischen und der Menge aller natürlichen Zahlen kleiner als , $\{m\in \mathbb{N} |m<n\}=\{0,1,2,3,\dotsc ,n-1\}$ , existiert.

Insbesondere ist also für n=0 die leere Menge endlich, da eine Bijektion zwischen der leeren Menge und der leeren Menge (alle natürlichen Zahlen kleiner als $0$ , solche existieren nicht) existiert.

So ist zum Beispiel die Menge

$M\,=\,\{4,6,2,8\}$

endlich, da eine Bijektion zur Menge

$M_{4}\,=\,\{0,1,2,3\}$

existiert, siehe etwa nebenstehende Abbildung.

Für die Menge aller natürlichen Zahlen

$\mathbb{N} =\{0,1,2,3,\dotsc \}$

existiert hingegen keine solche Bijektion auf eine endliche Menge, die Menge $\mathbb {N}$ ist daher unendlich.

Grundlegende Eigenschaften endlicher Mengen

Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist ebenfalls endlich.
Sind endliche Mengen, so sind auch ihre Vereinigungsmenge $A\cup B$ und ihre Schnittmenge $A\cap B$ endlich.
Ist eine endliche Menge, dann ist die Differenzmenge $A\setminus B$ für beliebige Mengen endlich.
Andersherum ist unendlich, und endlich, so ist $A\setminus B$ unendlich.
Für die Kardinalität der Vereinigungsmenge $A\cup B$ gilt $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ ; sind und disjunkt, so hat man $|A\dot\cup B| = |A| + |B|$ .
Die Potenzmenge einer endlichen Menge hat eine höhere Mächtigkeit als die Menge selbst, ist aber immer noch endlich, es gilt $|P(A)|=2^{{|A|}}$ .
Das kartesische Produkt endlicher Mengen ist endlich. Seine Mächtigkeit ist höher als die aller beteiligter Faktoren, wenn kein Faktor leer ist und mindestens zwei Faktoren eine Mächtigkeit größer haben. Für endliche Mengen gilt $|A\times B|=|A|\cdot |B|$ .

Dedekind-Endlichkeit

Eine andere Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen stammt von Dedekind. Er definierte:

Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, anderenfalls unendlich.

Man spricht heute von Dedekind-Endlichkeit bzw. Dedekind-Unendlichkeit.

Um nun zu zeigen, dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist, genügt es, Folgendes zu zeigen:

Die leere Menge ist zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig.
Wenn zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, dann ist auch $M\cup \{a\}$ zu keiner echten Teilmenge (von sich selbst) gleichmächtig.

(Punkt 1 ist klar, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Zu Punkt 2 muss man zeigen, dass man aus einer Bijektion zwischen der Menge $M':=M\cup \{a\}$ und einer echten Teilmenge von eine Bijektion zwischen und einer echten Teilmenge gewinnen kann.)

Umgekehrt ist jede Dedekind-endliche Menge auch endlich, denn wäre unendlich, so könnte man mit Hilfe des Auswahlaxioms eine Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$ von paarweise verschiedenen Elementen $a_{n}\in A$ finden. Die Abbildung

$f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_{0}\},\quad a\mapsto {\begin{cases}a_{{n+1}}&,{\mbox{ falls }}a=a_{n}{\mbox{ für ein }}n\\a&,{\mbox{ sonst}}\end{cases}}$

zeigt dann, dass zur echten Teilmenge $A\setminus \{a_{0}\}$ gleichmächtig und daher nicht Dedekind-endlich ist. Widerspruch!

Erblich endliche Mengen

Eine Menge heißt erblich endlich, wenn die transitive Hülle endlich ist. Das heißt, dass nicht nur endlich ist, sondern auch alle Elemente aus endliche Mengen sind, und deren Elemente ebenfalls endliche Mengen sind, und so weiter.

Nach Definition sind alle erblich-endlichen Mengen endlich. Die Umkehrung gilt nicht, so ist etwa $\{\mathbb{N} \}$ eine endliche Menge, denn sie enthält als einziges Element $\mathbb {N}$ , aber das Element $\mathbb {N}$ selbst ist nicht endlich.

In der abstrakten Mengenlehre werden die natürlichen Zahlen als erblich endliche Mengen eingeführt:

${\begin{aligned}0&:=\emptyset \\1&:=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}\\3&:=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\,\}=\{0,1,2\}\\&\vdots \\n&:=\{0,1,\dotsc ,n-1\}\end{aligned}}$

Damit sind die natürlichen Zahlen selbst endliche Mengen, sogar erblich endlich, und es gilt |n|=n für jede natürliche Zahl , wobei hier die senkrechten Striche nicht für die Betragsfunktion stehen, sondern für die Mächtigkeit. Das ist der Grund, warum oben in der Einleitung eine Gleichmächtigkeit zu $\{0,1,\dotsc ,n-1\}$ an Stelle von $\{1,2,\dotsc ,n\}$ erwähnt wurde. Letzteres wäre zwar auch richtig gewesen, aber die getroffene Wahl passt besser zur Definition der natürlichen Zahlen. Danach hat eine Menge die Mächtigkeit , wenn sie zu gleichmächtig ist.

Durchschnitte, Vereinigungen und Produkte erblich endlicher Mengen sind wieder erblich endlich. Die Menge aller erblich endlichen Mengen ist genau die Stufe $V_{\omega }$ der Von-Neumann-Hierarchie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

Weitere Endlichkeitsbegriffe

Die Endlichkeit einer Menge lässt sich auch ordnungstheoretisch fassen. Hier ist insbesondere das auf Alfred Tarski zurückgehende Konzept der Tarski-Endlichkeit zu nennen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de