Quadratzahl

16 Kugeln bilden ein Quadrat.

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist $144=12\cdot 12$ eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.

Eigenschaften

Gerade Quadratzahlen sind das Quadrat gerader Zahlen, während ungerade Quadratzahlen das Quadrat ungerader Zahlen sind.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

Jede Quadratzahl $n^{2}$ ist die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen.

${\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&1+3&=4&=2^{2}\\&1+3+5&=9&=3^{2}\\&1+3+5+7&=16&=4^{2}\\&&\vdots &\end{aligned}}$

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt, wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.


$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Zeile hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen die blauen Kugeln so alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz lässt sich auch direkt mit Hilfe der ersten binomischen Formel beweisen. Dazu werden die entsprechenden Summen durch die Formel

$n^{2}=\sum _{{i=1}}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dots +(2n-1)$

dargestellt. Durch vollständige Induktion lässt sich deren Gültigkeit zeigen. Der Induktionsanfang

$1^{2}=\sum _{{i=1}}^{1}2i-1=2\cdot 1-1=1$

für n=1 ist offensichtlich richtig. Unter der Annahme, dass

$n^{2}=\sum _{{i=1}}^{n}(2i-1)$

gilt, ist dann auch der Induktionsschluss

${\begin{aligned}(n+1)^{2}&=n^{2}+2n+1\\&={\bigl (}\sum _{{i=1}}^{n}(2i-1){\bigr )}+2n+1\\&={\bigl (}\sum _{{i=1}}^{n}(2i-1){\bigr )}+2(n+1)-1\\&=\sum _{{i=1}}^{{n+1}}(2i-1)\end{aligned}}$

gültig.

Jede Quadratzahl $n^{2}$ ist auch die zweifache Summe der ersten n-1 natürlichen Zahlen plus der Zahl .

${\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&2\cdot 1+2&=4&=2^{2}\\&2\cdot (1+2)+3&=9&=3^{2}\\&2\cdot (1+2+3)+4&=16&=4^{2}\\&&\vdots &\end{aligned}}$

Trick zum Berechnen von Fünfer-Quadratzahlen im Kopf

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden, lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z.B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

$\underline {1}5^{2}=\underline {2}25$

$\underline {2}5^{2}=\underline {6}25$

$\underline {3}5^{2}=\underline {12}25$

$\underline {4}5^{2}=[4\cdot (4+1)]25=\underline {20}25$

$[a]5^{2}=[a\cdot (a+1)]25$

Beweis: Eine Fünferzahl lässt sich darstellen als $10\cdot k+5,k\in {\mathbb {N}}$ . Ihr Quadrat ist somit $(10\cdot k+5)^{2}=100k^{2}+100k+25=100\cdot k(k+1)+25$ .

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen

Dreieckszahlen

10 + 15 = 25

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen $\Delta_4 = 10$ und $\Delta_5 = 15$ ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

${\begin{aligned}n^{2}&={\frac {n(n-1)}{2}}+{\frac {(n+1)n}{2}}\\&=\Delta _{{n-1}}+\Delta _{n}\\\end{aligned}}$

Zentrierte Quadratzahlen

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischen Muster erkennen lässt.

Centered square number 13 as sum of two square numbers.svg

Auch die Formel für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden.

${\begin{aligned}2n^{2}+2n+1&=n^{2}+(n^{2}+2n+1)\\&=n^{2}+(n+1)^{2}\end{aligned}}$

Pyramidenzahlen

Die Summe der ersten Quadratzahlen ergibt die -te Pyramidenzahl.

$\sum _{{i=1}}^{n}(i^{2})=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

Endziffern von Quadratzahlen

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl $a=10\cdot x+y$ , dann gilt für deren Quadrat

$a^{2}=100\cdot x^{2}+20\cdot xy+y^{2}$

Die letzte Ziffer von $a^{2}$ ist somit identisch mit der letzten Ziffer von $y^{2}$ . Unter den ersten Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 findet sich jedoch keine Zahl, die auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Restklassen von Quadratzahlen

Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass 0, 1, 4, 5, 6, 9 die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo 10 sind. Auch für andere Zahlen sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für n=11 sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen 0, 1, 3, 4, 5 und 9, insbesondere sind 0, 1 die Restklassen der Quadratzahlen modulo 3 sowie modulo 4, bzw. 0, 1, 4 die Restklassen der Quadratzahlen modulo 8. Daraus folgt bspw., dass 3 keine Restklasse der Summe genau zweier Quadratzahlen modulo 4 bzw. 7 keine Restklasse der Summe genau dreier Quadratzahlen modulo 8 ist.

In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle.

Teileranzahl

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei $n\in \mathbb {N}$ , $A=\{d\in \mathbb{N} \mid d^{2}\leq n,d|n\}$ und $B=\{d\in \mathbb{N} \mid n\leq d^{2},d|n\}$ . Es ist |A|=|B| , denn $\textstyle B=\{{\frac nd}\mid d\in A\}$ . $A\cup B$ enthält alle Teiler von , also ist die Anzahl der Teiler von gleich $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=2|A|-|A\cap B|$ . Ist eine Quadratzahl, so ist $A\cap B=\{{\sqrt n}\}$ . Andernfalls ist $A\cap B=\emptyset$ .

Reihe der Kehrwerte

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ .

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

${\begin{aligned}3^{2}+4^{2}&=5^{2}\\10^{2}+11^{2}+12^{2}&=13^{2}+14^{2}\\21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}&=25^{2}+26^{2}+27^{2}\\36^{2}+37^{2}+38^{2}+39^{2}+40^{2}&=41^{2}+42^{2}+43^{2}+44^{2}\end{aligned}}$

oder allgemein

$\sum _{{k=2n^{2}+n}}^{{2n^{2}+2n}}k^{2}=\sum _{{k=2n^{2}+2n+1}}^{{2n^{2}+3n}}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)(12n^{2}+12n+1)}{6}}$

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

n=2:

$1^{2}+2^{2}=5;2^{2}+3^{2}=13;4^{2}+5^{2}=41;\dots$ (Folge A027861 in OEIS, Folge A027862 in OEIS)

n=3:

$2^{2}+3^{2}+4^{2}=29;6^{2}+7^{2}+8^{2}=149;12^{2}+13^{2}+14^{2}=509;\dots$ (Folge A027863 in OEIS, Folge A027864 in OEIS)

n=6:

$2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}=139;3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}=199;4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=271;\dots$ (Folge A027866 in OEIS, Folge A027867 in OEIS)

Siehe auch

Vier-Quadrate-Satz

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de