Pyramidenzahl

In der Mathematik sind Pyramidenzahlen oder Pyramidalzahlen eine Klasse von Polyederzahlen, das heißt dreidimensionale figurierte Zahlen. Von manchen Autoren wird der Begriff Pyramidalzahl für den Spezialfall der quadratischen Pyramidalzahlen verwendet. Sie sind die dreidimensionalen Verallgemeinerungen der ebenen Polygonalzahlen.

Berechnung

Die jeweils -te -eckige Pyramidalzahl lässt sich mit der Formel

${\frac {n(n+1)[(k-2)n-k+5]}{6}}$

berechnen.

Alternativ lässt sich die -te -eckige Pyramidalzahl als Summe der ersten -eckigen Polygonalzahlen berechnen.

Pyramidenzahlen zu Polygonen mit wenigen Ecken

	Bezeichnung	Explizite Formel	die ersten Werte	Erzeugende Funktion
3	Tetraederzahlen	${\tfrac 16}n(n+1)(n+2)$	(0,) 1, 4, 10, 20, 35, … (Folge A000292 in OEIS)	${\frac x{(x-1)^{4}}}$
4	Quadratische Pyramidalzahlen	${\tfrac 16}n(n+1)(2n+1)$	(0,) 1, 5, 14, 30, 55, … (Folge A000330 in OEIS)	${\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}$
5	Fünfeckige Pyramidalzahlen	${\tfrac 12}n^{2}(n+1)$	(0,) 1, 6, 18, 40, 75, … (Folge A002411 in OEIS)	${\frac {x(2x+1)}{(x-1)^{4}}}$
6	Sechseckige Pyramidalzahlen	${\tfrac 16}n(n+1)(4n-1)$	(0,) 1, 7, 22, 50, 95, … (Folge A002412 in OEIS)	${\frac {x(3x+1)}{(x-1)^{4}}}$
7	Siebeneckige Pyramidalzahlen	${\tfrac 16}n(n+1)(5n-2)$	(0,) 1, 8, 26, 60, 115, … (Folge A002413 in OEIS)	${\frac {x(4x+1)}{(x-1)^{4}}}$

Anmerkung: Manche Autoren zählen die Null als nullte oder erste figurierte Zahl jeweils dazu, andere nicht.

Weitere Zusammenhänge mit anderen figurierten Zahlen

Die -te quadratische Pyramidalzahl lässt sich auch aus der -ten Dreieckszahl $\Delta _{n}$ und der (n-1) -ten Tetraederzahl $T_{{n-1}}$ nach der Formel

$\Delta _{n}+2\cdot T_{{n-1}}$

oder aus den aufeinanderfolgenden (n-1) und -ten Tetraederzahlen durch einfaches Summieren

$T_{n}+T_{n-1}$

berechnen.

Die Summe der ersten Tetraederzahlen ergibt eine Pentatopzahl, eine vierdimensionale Figurierte Zahl.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de