Symmetrischer Operator
Ein symmetrischer oder auch formal selbstadjungierter Operator ist ein Objekt aus der Mathematik. Ein solcher linearer Operator wird insbesondere in der Funktionalanalysis im Kontext unbeschränkter Operatoren betrachtet. Denn ein beschränkter symmetrischer Operator ist ein selbstadjungierter Operator.
In vielen Anwendungen werden Operatoren berücksichtigt, die unbeschränkt sind. Beispiele hierfür sind die Impuls- und Hamilton-Operatoren in der Quantenmechanik sowie viele lineare Differentialoperatoren. Bei unbeschränkten Differentialoperatoren, die für beschränkte Domänen definiert sind, ist es von der Wahl der Randbedingungen abhängig, ob ein symmetrischer Differentialoperator auch wesentlich selbstadjungiert oder sogar selbstadjungiert ist.
Definition
Sei
ein Hilbertraum. Ein linearer
Operator
heißt symmetrisch, falls
für alle
gilt. Mit
wird der Definitionsbereich
von
bezeichnet.
In der Definition wurde nicht gefordert, dass ein symmetrischer Operator dicht
definiert sein muss. Jedoch gibt es erst einen zu
adjungierten Operator, wenn
dicht definiert ist. Daher ist die Definition des symmetrischen Operators in der
Literatur in diesem Punkt nicht einheitlich.
Eigenschaften
- Ein linearer Operator
ist genau dann symmetrisch, wenn
gilt.
- Für beschränkte lineare Operatoren fallen die Begriffe selbstadjungiert und symmetrisch zusammen. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer unbeschränkt. Außerdem besagt der Satz von Hellinger-Toeplitz, dass jeder symmetrische Operator, der auf dem kompletten Hilbertraum definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.
- Halbbeschränkte
Operatoren sind auch symmetrisch. Erfüllt ein halbbeschränkter Operator
eine der Ungleichungen
-
oder
- dann ist er sogar selbstadjungiert.
- Im Gegensatz zu den selbstadjungierten Operatoren können symmetrische Operatoren auch nicht reelle Eigenwerte haben.
Beispiel
Sei
der Funktionenraum
der absolut
stetigen Funktionen
auf
,
die auf dem Rand verschwinden – also für die
gilt. Da der Raum der absolut stetigen Funktionen über einem Kompaktum isomorph
zum entsprechenden Sobolev-Raum
ist, kann der zuvor definierte Raum
als Sobolev-Raum
mit Nullrandbedingung
verstanden werden. Betrachte nun den Differentialoperator
in den Hilbertraum der quadratintegrierbaren
Funktionen .
Dieser ist symmetrisch bezüglich des komplexen
-Skalarproduktes.
Dies kann mittels partieller
Integration gezeigt werden. Jedoch ist
nicht selbstadjungiert, da der zu
adjungierte Operator per Definition den maximalen Definitionsbereich hat, daher
gilt für den adjungierten Operator
.
Hier erfüllen die Funktionen im Definitionsbereich von
nicht mehr die Nullrandbedingung. Eine andere Wahl der Randbedingung von
kann diesen zu einem selbstadjungierten Operatoren machen.



© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.02. 2021