Quotientennorm

Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.

Definition

Es seien ein normierter Raum und $U\subset X$ ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum X/U definiere man

$\|x+U\|:=\inf\{\|x-y\|;\,y\in U\}={\mathrm {dist}}(x,U)$ .

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Quotient nach einem Kern

Ist $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes , so ist die Quotientenabbildung $T:X\rightarrow X/U$ linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von X/U ab und es ist $U={\mathrm {ker}}(T)$ . Die Operatornorm der Quotientabbildung ist , falls ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich $0$ .

Seien umgekehrt X,Y normierte Räume und $T:X\rightarrow Y$ eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von abbildet. Dann ist stetig, surjektiv und die Isomorphie $X/{\mathrm {ker}}(T)\cong Y$ ist eine Isometrie.

Eigenschaften

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

Ist ein Banachraum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Banachraum, d.h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
Ist ein Hilbertraum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Hilbertraum, d.h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
Ist ein gleichmäßig konvexer Raum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch gleichmäßig konvex.
Ist eine Banachalgebra und $U\subset X$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine Banachalgebra, d.h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
Ist eine C^*-Algebra und $U\subset X$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine C^*-Algebra, d.h. die C^*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Quotientenhalbnormen

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes wird durch eine Menge $\mathcal P$ von Halbnormen erzeugt. Sei $U\subset X$ ein Unterraum. Für jedes $p\in {\mathcal P}$ ist die Quotientenhalbnorm $\hat{p}$ eine Halbnorm auf dem Quotientenraum X/U , wobei

${\hat {p}}(x+U):=\inf\{p(x+y);\,y\in U\}$ .

Dann stimmt die Finaltopologie auf X/U mit der durch die Halbnormen $\{{\hat {p}};p\in {{\mathcal P}}\}$ erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de