Triviale Gruppe
Die triviale Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, deren Trägermenge genau ein Element enthält. Die triviale Gruppe ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe als Untergruppe.
Definition
Die triviale Gruppe 
ist eine Gruppe
bestehend aus der einelementigen Menge
versehen mit der einzig möglichen Gruppenoperation
.
Das Element 
ist damit das neutrale
Element der Gruppe.
Beispiele
Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph. Beispiele für triviale Gruppen sind:
- die zyklische
Gruppe
vom Grad 
- die alternierende
Gruppe
vom Grad 
- die symmetrische
Gruppe
einer einelementigen Menge
Eigenschaften
- Da die Gruppenoperation
kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche
Gruppe. - Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
- Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt:
.
Hierbei ergibt das leere
Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element. - Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher zumeist nicht als einfache Gruppe angesehen.
- In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.
Siehe auch
Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2018