Adjungierte Darstellung

In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

→ Hauptartikel: Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe identifiziert werden:

${\mathfrak g}\simeq T_{e}G$ .

Adjungierte Darstellungen

Sei eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ .

Die Konjugation mit einem Element $g\in G$ ist die durch

$c_{g}(h):=ghg^{{-1}}\ \forall \ h\in G$

definierte Abbildung $c_{g}\colon G\to G$ .

Die adjungierte Darstellung

$Ad\colon G\rightarrow GL({\mathfrak g})$

ist der durch

$Ad(g)=D_{e}c_{g}$

für alle $g\in G$ definierte Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird der induzierte Lie-Algebren-Homomorphismus

$ad:=D_{e}Ad\colon {\mathfrak g}\to {\mathfrak g}l({\mathfrak g})$ .

Weil es nach den Lie'schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit $T_{e}G={\mathfrak g}$ gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung für jede solche Lie-Algebra definieren.

Explizite Beschreibung

Die adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer: es gilt

$ad(X)(Y)=\left[X,Y\right]$

für alle $X,Y\in {\mathfrak g}$ .

Für Matrix-Gruppen, d.h. abgeschlossene Untergruppen von $GL(n,\C)$ , lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von ${\mathfrak {g}}$ mit einer Teilmenge von ${\mathfrak g}l(n,\mathbb{C} )\simeq Mat(n,\mathbb{C} )$ gilt

$Ad(g)(X)=gXg^{{-1}}$

für alle $g\in G,X\in {\mathfrak g}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de