Orthogonale Polynome
Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen
in einer Unbekannten ,
so dass
den Grad
hat, die orthogonal
bezüglich eines
Skalarproduktes sind.
Definition
Sei
ein Borel-Maß
auf
und betrachte man den Hilbertraum
der bezüglich
quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt
Weiter sei
für alle
.
Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß kompakten
Träger
besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der
Allgemeinheit
fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative
Gewichtsfunktion
gegeben:
.
Eine Folge von Polynomen ,
,
heißt Folge orthogonaler Polynome, falls
Grad
hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:
Konstruktion
Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe
des Gram-Schmidt'schen
Orthogonalisierungsverfahren aus den Monomen
,
,
konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente
zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.
Normierung
Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben, führen wir folgende Konstanten ein:
und
Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal, falls ,
und als monisch, falls
.
Rekursionsrelation
Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation
(wobei
im Fall
zu setzen ist) mit
und den Konstanten
aus dem vorherigen Abschnitt.
Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form
mit
geschrieben werden.
Speziell im Fall von orthonormalen Poynomen, ,
erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation
und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte
Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators.
Das Maß
ist das Spektralmaß
des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor
.
Christoffel–Darboux-Formel
Es gilt
und im Fall
erhält man durch Grenzwertbildung
Nullstellen
Das Polynom
hat genau
Nullstellen, die alle
einfach sind und im Träger
des Maßes liegen. Die Nullstellen von
liegen strikt zwischen den Nullstellen von
.
Liste von Folgen orthogonaler Polynome
- Hermitesches Polynom
- Jacobi-Polynom
- Legendre-Polynom
- Laguerre-Polynome
- Tschebyschow-Polynom
- Zernike-Polynom



© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.01. 2024