Borelmaß

Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum (X,\tau ) mit borelscher σ-Algebra {\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma (\tau )}. Ein Maß

{\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\to [0,\infty ]}

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes x\in X eine offene Umgebung U_{x} von x existiert mit {\displaystyle \mu (U_{x})<\infty }.

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelsche σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Manchmal werden auch

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften

Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum X ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist x\in X, so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung {\displaystyle U_{x}} ein kompaktes {\displaystyle K_{x}} mit {\displaystyle O_{x}\subset U_{x}\subset K_{x}}, wobei {\displaystyle O_{x}} eine offene Umgebung von x ist. Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann {\displaystyle \mu (O_{x})\leq \mu (K_{x})<\infty } und {\displaystyle O_{x}} ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge K endliches Maß hat. Denn ist {\displaystyle (O_{x})_{x\in K}} eine offene Überdeckung von K, so folgt aus der Definition der Kompaktheit, dass eine offene endliche Überdeckung {\displaystyle (O_{x_{i}})_{i\in I},\;|I|<\infty } existiert. Aufgrund der lokalen Endlichkeit folgt dann {\displaystyle \mu (O_{x_{i}})<\infty } und damit auch {\displaystyle \mu (K)<\infty }.

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte

Moderate Maße

Ein Borel-Maß heißt ein {\displaystyle (O_{n})_{n\in \mathbb {N} }} existiert, so dass

{\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }O_{n}}

ist und {\displaystyle \mu (O_{n})<\infty } für alle  n \in \N gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

\mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid K\subset A,\ K\ {\textrm {kompakt}}\}

für alle {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}. Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 30.06. 2020