Sesquilinearform
Als Sesquilinearform (lat. sesqui = anderthalb) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in einem, semilinear im anderen ihrer beiden Argumente ist. Ein klassisches Beispiel ist die durch
definierte Abbildung .
Hierbei bezeichnet der Querstrich die komplexe
Konjugation.
Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen
entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper
zugrunde liegen muss; eine Sesquilinearform ist eine Abbildung
;
sie ist eine Linearform
bezüglich des einen und eine Semilinearform
bezüglich des anderen Argumentes. Für die Reihenfolge von linearem und
semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen; in der Physik ist
es üblich, das semilineare Argument zuerst zu nennen.
Über den reellen Zahlen stimmt das Konzept der Sesquilinearform mit dem der Bilinearform überein.
Definition
Es seien
Vektorräume über den komplexen Zahlen.
Eine Abbildung
heißt Sesquilinearform, wenn
semilinear
im ersten und linear
im zweiten Argument ist, das heißt
und
Dabei sind ,
und
.
Manchmal wird stattdessen auch Linearität im ersten und Semilinearität im zweiten Argument gefordert; dieser Unterschied ist jedoch rein formaler Natur.
Diese Definition lässt sich auch auf Vektorräume über anderen Körpern oder Moduln über einem Ring verallgemeinern, sobald auf dem Grundkörper bzw. -ring ein ausgezeichneter Automorphismus oder zumindest Endomorphismus
gegeben ist. Ein Kandidat für derartige Endomorphismen ist der Frobeniushomomorphismus in positiver Charakteristik.
Die konstante Nullabbildung
ist eine Sesquilinearform, wir schreiben .
Punktweise Summen und skalare Vielfache von Sesquilinearformen sind wieder
Sesquilinearformen. Die Menge der Sesquilinearformen bildet also einen
-Vektorraum.
Hermitesche Sesquilinearform
Eine Sesquilinearform
heißt hermitesch, falls
gilt. Diese Definition ist analog zur Definition der symmetrischen Bilinearform. Das Adjektiv hermitesch leitet sich von dem Mathematiker Charles Hermite ab.
Beispiele
Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Sesquilinearform mit Hermitescher Symmetrie, also sogar eine Hermitesche Form.
Polarisierung
Aussage
Eine wichtige Rolle spielt die sogenannte Polarisierungsformel
die zeigt, dass die Form bereits durch ihre Werte auf der Diagonalen, d. h.
auf Paaren der Form
eindeutig bestimmt ist.
Die Polarisierungsformel gilt nur für Sesquilinearformen, nicht aber für allgemeine Bilinearformen.
Spezialfall
Eine unmittelbare Konsequenz aus der Polarisierungsformel ist die Tatsache,
dass die Form
bereits dann verschwindet, wenn
für alle
.
Oder anders ausgedrückt: Falls
für alle
,
dann
,
also
.
Gegenbeispiel
Für allgemeine Bilinearformen gilt diese Aussage nicht, folglich kann es auch
keine Polarisierungsformel geben. Dies erkennt man an folgendem Beispiel. Sei
und setze
.
ist offenbar bilinear und es gilt
für alle
.
Andererseits ist
.
Folgerung
Sei
ein Hilbertraum und
ein beschränkter
linearer Operator. Dann ist
eine beschränkte Sesquilinearform. Die Beschränktheit bedeutet, dass
(hier
).
Umgekehrt folgt aus dem Darstellungssatz
von Fréchet-Riesz, dass jede beschränkte Sesquilinearform einen beschränkten
Operator
bestimmt, so dass
für alle
.
Insbesondere verschwindet
genau dann, wenn
verschwindet. Dies kann man auch wie folgt leicht direkt sehen: falls
so folgt
für alle
,
also
.
Die Umkehrung folgt sofort aus der Definition von
.
Mit der Polarisierungsidentität folgt also, dass ein Operator genau dann Null
ist, wenn
für alle
.
Diese Aussage gilt jedoch nur über dem Grundkörper der komplexen Zahlen
,
über den reellen
Zahlen ist zusätzlich die Bedingung notwendig, dass T selbstadjungiert
ist.
Sesquilinearformen auf Moduln
Das Konzept der Sesquilinearform lässt sich auf beliebige Moduln
verallgemeinern, wobei an die Stelle der komplexen Konjugation ein beliebiger
Antiautomorphismus
auf dem zugrundeliegenden nicht notwendigerweise kommutativen Ring tritt. Seien
Moduln über demselben Ring
und
ein Antiautomorphismus auf
.
Eine Abbildung
heißt genau dann
-Sesquilinearform,
wenn für beliebige
,
und
die folgenden Bedingungen gelten:



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.08. 2019