Bose-Einstein-Statistik

Besetzungszahl $\langle n \rangle$ als Funktion der Energie $E - \mu$
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur

.
Das chemische Potential $\mu$ ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei $T = 0 \, \mathrm{K}$ entspricht es der Fermi-Energie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $\langle n(E) \rangle$ eines Quantenzustands der Energie $E\,$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x, y, z, m\,$ zweier Bosonen ( $x, y\,$ und $z\,$ : Ortsvariable; $m\,$ : Spinvariable) die Wellenfunktion $\psi \,$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(\psi \rightarrow \psi)$ , während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(\psi \rightarrow -\psi)$ . Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$\langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1}$

mit

dem chemischen Potential $\mu$ , welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $\mu < E$ ;
daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $E - \mu > 0$ definiert.
der Energienormierung . Die Wahl von hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
- üblicherweise wird sie gewählt zu $\beta = 1/(k_\mathrm{B} T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{\mathrm {B} }$ ;
- sie beträgt $\beta = 1/T$ , wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{\mathrm {B} }$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_\lambda$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $\mu \,$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $\langle n(E) \rangle$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad g_i = 2s +1 zu multiplizieren ( $s\,$ : Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de