Elektronengas

In der Festkörperphysik bezeichnet der Begriff Elektronengas eine Modellvorstellung für die frei beweglichen Elektronen im Leitungsband von Metallen oder Halbleitern. Im Rahmen dieses Modells werden die frei beweglichen Elektronen als Grund für die Leitfähigkeit von Metallen verstanden, und der elektrische Widerstand wird durch die Streuung von Elektronen an Phononen und Kristall-Fehlstellen beschrieben.

Das Elektronengas ist kein Gas im chemischen Sinn.

Delokalisierte Elektronen

Elektronen im Leitungsband sind delokalisiert, d.h., sie lassen sich keinem bestimmten Gitter atom zuordnen, wie dies in chemischen Verbindungen der Fall ist. Anders ausgedrückt hat solch ein Elektron an jedem Gitteratom eine nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit, ist also über den gesamten Kristall verteilt. Die kinetische Energie und der (quantenmechanische) Wellenvektor ${\vec {k}}$ eines freien, nicht wechselwirkenden Elektrons hängen zusammen über die Dispersionsrelation

$E = \frac12 \cdot \frac{\hbar^2 \cdot \vec k^2}{m}$

Relationen dieser Art bestimmen die Bandstruktur im Wellenvektorenraum. Das beschriebene so genannte freie Elektronengas (mit dem parabolischen Band) ist nur ein einfaches Modell zur Beschreibung für die Elektronen im Leitungsband. In komplizierteren Modellen (z.B. Näherungquasi-freier Elektronen oder Tight-Binding-Modell), die die Wirklichkeit besser beschreiben, wird das periodische Potenzial des Kristalls berücksichtigt, was zu komplexeren Bandstrukturen führt. Diese können jedoch in erster Näherung um ${\vec k}=0$ auch durch obige parabolische Dispersion beschrieben werden, wenn für m die effektive Masse des jeweiligen Bandes gesetzt wird.

Da Elektronen Fermionen sind, können keine zwei Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Dadurch sind die Energieniveaus bei Temperatur T = 0 K von $E_{{0}}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$ (Nullpunktenergie) her aufgefüllt bis zur sogenannten Fermienergie. Die Verteilung der Energie wird durch die Fermi-Dirac-Statistik beschrieben, die bei T > 0 K an der „Fermikante“ in einem Bereich der Breite ~ 2 kT, aufgeweicht ist.

Entartetes Elektronengas

Als entartet bezeichnet man ein Elektronengas, wenn die (weitgehend temperaturunabhängige) Fermienergie E_F der Elektronen in einem Potentialkasten viel größer ist als die absolute Temperatur T, multipliziert mit der Boltzmannkonstanten k_B:

$E_\mathrm{F} \gg k_\mathrm{B} \cdot T \Leftrightarrow \frac{E_\mathrm{F}}{k_\mathrm{B} \cdot T} \gg 1$

Insbesondere ist jedes Elektronengas entartet bei T → 0 K. Die Bezeichnung entartet ist so zu verstehen, dass nahezu alle Zustände die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, besetzt zu sein. Die Verteilungsfunktion ist über einen (verglichen mit der Fermi-Kante) großen Bereich konstant.

Zahlenbeispiele:

für die Leitungselektronen in Kupfer gilt (bei Raumtemperatur): $\, E_\mathrm{F} \, / \, k_\mathrm{B} T \, \approx \, 280$
für die Elektronen im Zentrum Weißer Zwerge gilt (trotz hoher Temperatur): $\, E_\mathrm{F} \, / \, k_\mathrm{B} T \, \approx \, 10^2... \,10^3$
für die Elektronen im Zentrum der Sonne beträgt das Verhältnis dagegen: $\, E_\mathrm{F} \, / \, k_\mathrm{B} T \, \approx \, 1/2$ (also nicht-entartet).

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de