Regula falsi

Das Regula-falsi-Verfahren (lateinisch regula falsi ‚Regel des Falschen‘), auch: Regula duarum falsarum Positionum (lateinisch regula duarum falsarum positionum ‚Regel vom zweifachen falschen Ansatz‘), Falsirechnung rsp. Falsi-Rechnung oder lineares Eingabeln genannt, ist eine Methode zur numerischen Berechnung von Nullstellen reeller Funktionen. Es kombiniert Methoden vom Sekantenverfahren und der Bisektion.

Das Verfahren (Primitivform)

Die ersten zwei Iterationen des Regula-falsi-Verfahrens; rot dargestellt die Funktion f, blau die Sekanten
Visualisierung der Regula falsi als Animation

Das Regula-falsi-Verfahren startet mit zwei Stellen (in der Nähe der Nullstelle) a_{0} und b_{0}, deren Funktionsauswertungen f(a_0), f(b_0) unterschiedliche Vorzeichen haben. In dem Intervall [a,b] befindet sich somit nach dem Zwischenwertsatz (für stetiges f) eine Nullstelle. Nun verkleinert man in mehreren Iterationsschritten das Intervall und bekommt so eine immer genauere Näherung für die Nullstelle.

Iterationsvorschrift

In Schritt k berechnet man:

\!\,c_k = a_{k-1} - \frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{f(b_{k-1})-f(a_{k-1})} f(a_{k-1})  \!\,=\frac{a_{k-1}{f(b_{k-1})}-b_{k-1}{f(a_{k-1})}}{f(b_{k-1})-f(a_{k-1})}.

Ist f(c_{{k}})=0, so wird das Verfahren beendet, denn mit c_k ist eine Nullstelle gefunden. Anderenfalls wählt man a_{k}, b_k wie folgt:

und geht damit in den nächsten Iterationsschritt.

Bemerkungen

Verbesserung des Verfahrens

Ist f konkav oder konvex im Intervall [a_k,b_k], hat die zweite Ableitung also überall im Intervall das gleiche Vorzeichen, so bleibt eine der Intervallgrenzen für alle weiteren Iterationen stehen, denn die Sekante liegt immer unterhalb bzw. oberhalb der Funktion. Die andere Intervallgrenze konvergiert jetzt nur noch linear gegen die Lösung.

Abhilfe schaffen die folgenden Verfahren.

Illinois-, Pegasus- und Anderson/Björck-Verfahren

Idee der Verfahren

Den verbesserten Verfahren liegt die folgende Idee zu Grunde. Falls sich die „linke“ Intervallgrenze x_{1} im aktuellen Schritt nicht verändert – das heißt, dass die tatsächliche Nullstelle zwischen der „linken“ Grenze und der genäherten Nullstelle liegt, – multipliziert man f(x_1) mit einem Faktor 0<m<1 und bringt den Funktionswert an der Stelle x_{1} damit näher an Null.

Entweder verkürzt sich somit der Abstand der Näherung zur Nullstelle im nächsten Schritt oder die Nullstelle wird im nächsten Schritt zwischen der tatsächlichen Nullstelle und der „rechten“ Intervallgrenze genähert.

Im zweiten Fall werden dann einfach „rechts“ und „links“ für den nächsten Schritt vertauscht. Da der zweite Fall irgendwann – auch in konvexen Intervallen – immer eintritt, ist sicher, dass keine der beiden Intervallgrenzen bis zum Abbruch stehen bleibt. Somit ist die Konvergenz garantiert superlinear.

Algorithmus

Den folgenden Algorithmus haben diese Verfahren gemeinsam:

{\displaystyle \!\,{\begin{array}{l}{\mathsf {solange}}~\circledast (|x_{2}-x_{1}|\geq \varepsilon _{x},|f_{z}|\geq \varepsilon _{f}):\\~~\left[{\begin{array}{l}z:=x_{1}-{\frac {f_{1}}{s}}~\mathrm {mit} ~s={\frac {f_{2}-f_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\f_{z}:=f(z)\\{\mathsf {falls}}~f_{z}\cdot f_{2}<0:\\~~\left[x_{1}:=x_{2},~f_{1}:=f_{2},~x_{2}:=z,~f_{2}:=f_{z}\right.\\{\mathsf {falls}}~f_{z}\cdot f_{2}>0:\\~~\left[f_{1}:=m\cdot f_{1},~x_{2}:=z,~f_{2}:=f_{z},~x_{1}~{\text{bleibt}}\right.\\{\mathsf {sonst}}:\\~~\left[x_{1}:=z,~f_{1}:=f_{z},~x_{2}:=z,~f_{2}:=f_{z}\right.\\\end{array}}\right.\\~\\{\text{nimm }}z{\text{ als Näherung für }}x^{*}\end{array}}}

Dabei sind x_1,x_2 die Intervallgrenzen im k-ten Schritt, f_1,f_2 und f_z die Funktionswerte an den Stellen x_1,x_2 und z. \varepsilon_x,\varepsilon_f sind die Abbruchgrenzen und m der Verkürzungsfaktor. \circledast(\cdot,\cdot) steht hier für eine nicht näher spezifizierte, zweistellige Boolesche Funktion. Sinnvolle Funktionen wären hier die Disjunktion, die Konjunktion, die Identität des ersten und die Identität des zweiten Operanden. Im ersten Fall muss eine der beiden Abbruchgrenzen, im zweiten Fall beide, im dritten Fall lediglich \varepsilon_x und im vierten Fall \varepsilon_f unterschritten werden, damit \circledast(|x_2-x_1|\geq\varepsilon_x,|f_z|\geq\varepsilon_f) falsch wird und das Verfahren abbricht.

Die unterschiedlichen Verfahren unterscheiden sich lediglich im Verkürzungsfaktor m.

Illinois-Verfahren
m_I=0.5
Pegasus-Verfahren
m_P=\frac{f_2}{f_2+f_z}
Anderson/Björck-Verfahren
{\displaystyle m_{A/B}={\begin{cases}1-{\frac {f_{z}}{f_{2}}}&{\text{falls}}~1-{\frac {f_{z}}{f_{2}}}>0\\0.5&{\text{sonst}}\end{cases}}}

Rekursive Implementierung des Pegasus-Verfahrens

Die zu untersuchende Funktion und die Abbruchkriterien:

epsx, epsf seien definiert
f(x) sei definiert

Der Verkürzungsfaktor für das Pegasus-Verfahren:

m(f2, fz): return f2 ÷ (f2 + fz)

Der eigentliche, rekursive Algorithmus:

betterFalsePosition(x1, x2, f1, f2):
  z := x1 − f1 · (x2 − x1) ÷ (f2 − f1) // Näherung für die Nullstelle berechnen
  fz := f(z)
  // Abbruchgrenze unterschritten?: z als Näherung zurückgeben
  if |x2 − x1| < epsx or |fz| < epsf then return z
  // ansonsten, Nullstelle in [f(xz), f(x2)]?: „Links und Rechts“ vertauschen, Nullstelle in [f(xz), f(x2)] suchen
  if fz · f2 < 0 then return betterFalsePosition(x2, z, f2, fz)
  // ansonsten: „verkürzen“ und Nullstelle in [x1, z] suchen
  return betterFalsePosition(x1, z, m(f2, fz) · f1, fz)

Die Methode, mit der das Verfahren für das zu untersuchende Intervall, gestartet wird:

betterFalsePosition(x1, x2): return betterFalsePosition(x1, x2, f(x1), f(x2))

Bemerkungen

Geschichte

Erste Erscheinungsformen der Regula falsi finden sich bereits in sehr alten mathematischen Texten. So finden sich beispielsweise im Papyrus Rhind (ca. 1550 v. Chr.) Anwendungen dieser Methode bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.

Unter den ältesten erhaltenen Dokumenten, die vom Wissen um die Methode des doppelten falschen Ansetzens zeugen, befindet sich die indisch-mathematische Schrift „Vaishali Ganit“ (ca. 3. Jahrhundert v.Chr.). Der altchinesische mathematische Text Die Neun Kapitel der mathematischen Kunst (200 v.Chr. – 100 n.Chr.) erwähnt den Algorithmus ebenfalls. In diesem Text wurde das Verfahren in Beispielen allerdings nur auf lineare Gleichungen angewandt, sodass die Lösungen in nur einer Iteration erreicht wurden. Leonardo da Pisa (Fibonacci) beschrieb das Verfahren des doppelten falschen Ansetzens in seinem Buch „Liber Abaci“ (1202 n.Chr.), angelehnt an eine Methode, die er aus arabischen Quellen gelernt hatte.

Auch Adam Ries kannte die regula falsi und beschrieb die Methode wie folgt:

„wird angesetzt mit zwei falschen Zahlen, die der Aufgabe entsprechend gründlich überprüft werden sollen in dem Maße, wie es die gesuchte Zahl erfordert. Führen sie zu einem höheren Ergebnis, als es in Wahrheit richtig ist, so bezeichne sie mit dem Zeichen + plus, bei einem zu kleinen Ergebnis aber beschreibe sie mit dem Zeichen −, minus genannt. Sodann ziehe einen Fehlbetrag vom anderen ab. Was dabei als Rest bleibt, behalte für deinen Teiler. Danach multipliziere über Kreuz jeweils eine falsche Zahl mit dem Fehlbetrag der anderen. Ziehe eins vom anderen ab, und was da als Rest bleibt, teile durch den vorher berechneten Teiler. So kommt die Lösung der Aufgabe heraus. Führt aber eine falsche Zahl zu einem zu großen und die andere zu einem zu kleinen Ergebnis, so addiere die zwei Fehlbeträge. Was dabei herauskommt, ist dein Teiler. Danach multipliziere über Kreuz, addiere und dividiere. So kommt die Lösung der Aufgabe heraus.“

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 24.02. 2020