Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition

Sei ein topologischer Raum, sei $C_{n}(X)$ die -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard--Simplexes $\Delta ^{n}$ nach > und $C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )$ . Man bezeichne mit $\iota _{{0\ldots p}}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{{p+q}}$ beziehungsweise $\iota _{{p\ldots p+q}}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{{p+q}}$ die Inklusionen des Standard-- beziehungsweise -Simplexes als „vordere -dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere -dimensionale Seite“ in den Standard- (p+q) -Simplex.

Für $\psi \in C^{q}(X)$ und einen singulären Simplex $\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X$ (mit $p\geq q$ ) definiert man

$\sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}$

und setzt dies linear zu einer Abbildung

$C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)$

fort.

Allgemeiner sei ein Ring und sei $C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)$ . Dann erhält man eine Abbildung

$C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)$ .

Aus der Relation

$\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )$

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

$H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)$

definiert.

Eigenschaften

Für stetige Abbildungen $f:X\rightarrow Y$ gilt

$f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))$

mit $c\in C_{p}(X;R)$ , $\psi \in C^{q}(Y;R)$ .

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

$\psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)$

für $c\in C_{p}(X;R)$ , $\psi \in C^{q}(X;R)$ , $\varphi \in C^{p-q}(X;R).$

Anwendung: Poincaré-Dualität

→ Hauptartikel: Poincaré-Dualität

Sei eine geschlossene, orientierbare -Mannigfaltigkeit und

$\left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )$

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit $\left[M\right]$ einen Isomorphismus

$H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )$

für $k=0,\ldots ,n$ .

Literatur

Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X

Basierend auf einem Artikel in:

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