Kongruenzrelation

In der Mathematik, genauer der Algebra, nennt man eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur eine Kongruenzrelation, wenn die Operationen der algebraischen Struktur mit dieser Äquivalenzrelation verträglich sind. In allgemeiner Form, wie hier dargestellt, werden sie in der universellen Algebra untersucht.

Definition

Seien eine Menge, $f\colon A^{n}\rightarrow A$ eine -stellige Operation (Funktion) auf und $\theta$ eine Äquivalenzrelation auf . Man nennt mit $\theta$ verträglich, falls für alle $a_{1},\dotsc ,a_{n},b_{1},\dotsc ,b_{n}\in A$ mit $a_{1}\theta b_{1},\dotsc ,a_{n}\theta b_{n}$ immer

$f(a_{1},\dotsc ,a_{n})\,\theta \,f(b_{1},\dotsc ,b_{n})$

gilt.

Sei nun $\mathbf {A} =(A,(f_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}})$ eine algebraische Struktur, dann wird $\theta$ Kongruenzrelation auf $\mathbf {A}$ genannt, falls alle $f_{i},i=1,\dotsc n$ verträglich sind mit $\theta$ .

Anwendung

Aus einer algebraischen Struktur $\mathbf {A}$ und einer Kongruenzrelation $\theta$ auf dieser algebraischen Struktur kann eine neue algebraische Struktur ${\mathbf {A}}/\theta$ gewonnen werden, die sogenannte Faktorstruktur, Faktoralgebra, Quotientenalgebra oder Quotientenstruktur. Dabei ist die Grundmenge von ${\mathbf {A}}/\theta$ gerade die Faktormenge $A/\theta$ und für jede -stellige Operation $f_{\mathbf {A} }\colon A^{n}\rightarrow A$ von $\mathbf {A}$ wird eine neue Operation $f_{\mathbf {A} /\theta }\colon (\mathbf {A} /\theta )^{n}\to \mathbf {A} /\theta$ auf ${\mathbf {A}}/\theta$ definiert durch

$f_{\mathbf {A} /\theta }([a_{1}]_{\theta },\dotsc ,[a_{n}]_{\theta }):=[f_{\mathbf {A} }(a_{1},\dotsc ,a_{n})]_{\theta }$ .

Beispiele

Für jede algebraischen Struktur sind $\Delta _{A}=\{(a,a)\mid a\in A\}$ (genannt Diagonale oder Identität) und $\nabla _{A}=A^{2}$ (genannt Allrelation) Kongruenzrelationen.
Sei $\varphi \colon \mathbf {A} \to \mathbf {B}$ ein Homomorphismus zwischen den beiden algebraischen Strukturen $\mathbf {A}$ und $\mathbf {B}$ . Der Kern von $\varphi$ , in Zeichen $\operatorname {Kern} \varphi$ oder $\sim _{\varphi }$ , gegeben durch
$\operatorname {Kern} \varphi \equiv \sim _{\varphi }:=\{(a,b)\in A^{2}\,|\,\varphi (a)=\varphi (b)\},$
ist eine Kongruenzrelation auf $\mathbf {A}$ .
Sei ${\mathbf {G}}=(G,\cdot ,^{{-1}},e)$ eine Gruppe, ein Normalteiler dieser Gruppe. $\theta _{N}$ sei diejenige Äquivalenzrelation auf mit den Äquivalenzklassen $aN,\ a\in G$ , dann ist $\theta _{N}$ eine Kongruenzrelation auf $\mathbf {G}$ . Man kann sogar zeigen, dass $N\mapsto \theta _{N}$ eine bijektive Abbildung zwischen den Normalteilern und den Kongruenzrelationen einer Gruppe ist. Bei einer Gruppe entsprechen also Kongruenzrelationen genau den Normalteilern.
Eine zu oben analoge Aussage gilt auch für Ideale von Ringen und für Unterräume von Vektorräumen: Die von Idealen bzw. Unterräumen bestimmten Äquivalenzklassen entsprechen genau den von Kongruenzrelationen bestimmten Klassen.
Infolgedessen gibt es für Algebren und Kongruenzen auch einen Homomorphiesatz sowie die beiden Isomorphiesätze. Sie stellen eine Verallgemeinerung der von Gruppen (und Ringen bzw. Vektorräumen) bekannten Sätze dar, sodass der Homomorphiesatz bei den Gruppen in größerem Kontext gesehen werden kann.

Homomorphiesatz (für Algebren): Sind $\mathbf {A}$ und $\mathbf {B}$ zwei Algebren gleichen Typs (d.h., gibt es zu jeder -stelligen Funktion $f\colon \mathbf {A} ^{n}\to \mathbf {A}$ genau eine „passende“ -stelligen Funktion $g\colon \mathbf {B} ^{n}\to \mathbf {B}$ ) und ist $\varphi \colon \mathbf {A} \to \mathbf {B}$ ein Algebrenhomomorphismus mit Kern $\theta _{\varphi }$ , so gilt ${\mathbf {A}}/\theta _{\varphi }\simeq \varphi ({\mathbf {A}})$ .

Ebenso könnte man die Isomorphiesätze formulieren, für die man zuerst geeignet den Begriff der Faktorkongruenz benötigt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de