Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist $(R,+,\cdot )$ ein Ring und ein (beidseitiges) Ideal von , dann bildet die Menge $R/I = \left\{a+I\mid a\in R\right\}$ der Äquivalenzklassen modulo mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

$(a+I) \cdot (b+I) = a \cdot b + I$

Diesen Ring nennt man den Faktorring modulo oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

Die Menge $n\Z$ aller ganzzahligen Vielfachen von ist ein Ideal in $\mathbb {Z}$ , und der Faktorring $\Z/n\Z$ ist der Restklassenring modulo .

Ist $f\in R[X]$ ein Polynom über einem Integritätsring , dann ist die Menge $R[X]\cdot f=(f)$ aller Polynom-Vielfachen von ein Ideal im Polynomring , und $R[X]/(f)=\left\{g+(f)\mid g\in R[X]\right\}$ ist der Faktorring modulo .

Betrachten wir das Polynom $f=X^{2}+1$ über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen, so ist der Faktorring $\mathbb{R} [X]/(f)$ isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von entspricht dabei der imaginären Einheit $\mathrm {i}$ .

Rechenbeispiele:

Das Polynom $X^{2}$ liegt wegen $X^{2}=f-1$ in derselben Äquivalenzklasse modulo wie .

Für das Produkt $[X+1]\cdot [X+2]$ ermitteln wir $[X+1]\cdot [X+2]=[(X+1)\cdot (X+2)]=[X^{2}+3X+2]=[3X+1]$

Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern $\Bbb F_p=\Z/p\Z$ .

Eigenschaften

Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsring ist.
Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal genau dann ein maximales Ideal, wenn ein Körper ist.
Ist ein Körper und ein irreduzibles Polynom über , dann ist ein maximales Ideal in und deshalb ist $L\colon =K[X]/(f)$ ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von , in dem eine Nullstelle hat (die Restklasse von ). Die Körpererweiterung ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über nicht-linearen irreduziblen Teilern von , so erhält man schließlich einen Körper, in dem in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von .

Idealtheorie

Sei ein kommutativer Ring mit Einselement und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann sind

die Ideale des Rings genau die Ideale von , die enthalten (also $I\subseteq J$ )
die Primideale des Rings genau die Primideale von , die enthalten
die Maximalideale des Rings genau die Maximalideale von , die enthalten

Bemerkung

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de