Satz von Heine-Borel

Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, nach den Mathematikern Eduard Heine und Émile Borel benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.

Aussage

Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

Für eine Teilmenge $\mathcal{M}$ des $\mathbb{R}^{n}$ (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

$\mathcal{M}$ ist beschränkt und abgeschlossen.
Jede offene Überdeckung von $\mathcal{M}$ enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ anwenden.

Gegenbeispiele

Wichtig hierbei ist, dass der umgebende Raum der $\mathbb{R}^{n}$ mit der euklidischen Metrik ist. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.

Ein einfaches Gegenbeispiel ist die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge . Die diskrete Metrik ist definiert durch

,
für $x\neq y$ , $x,y\in X$ .

In dieser Metrik ist jede Teilmenge von abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.

Verallgemeinerung

Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind. Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des $\mathbb{R}^{n}$ genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de