Geometrie
Die Geometrie (altgriechisch γεωμετρία geometria ‚Erdmaß‘,
‚Landmessung‘) ist ein Teilgebiet
der Mathematik.
Einerseits versteht man unter Geometrie die zwei- und dreidimensionale
euklidische Geometrie, die Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht
gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc.
beschäftigt, sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer
systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt
wurden.
Andererseits umfasst der Begriff Geometrie eine Reihe von großen
Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Laien nur
mehr schwer erkennbar ist.
Themenbereiche
Geometrien
Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in
einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische
Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte, Geraden, Ebenen, ....
heißen und deren Beziehungen untereinander durch Axiome
geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid,
der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf
einige wenige Postulate (d.h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste
soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses
Schema passen, geben:
- Projektive Geometrie
und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und
die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von
Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren: Das
Hinzufügen von Fernelementen
macht eine affine Geometrie zu einer projektiven, und das Entfernen einer
Geraden bzw. einer Ebene mit ihren Punkten macht aus einer zwei- bzw.
dreidimensionalen projektiven Geometrie eine affine. In wichtigen Fällen
können die Punkte auf einer Geraden in der affinen Geometrie so angeordnet werden,
dass sich Halbgeraden
und Strecken
definieren lassen. In diesen Fällen nennt man die affine Geometrie und ihren
projektiven Abschluss 'angeordnet'.
- Euklidische Geometrie: Darunter versteht man üblicherweise die aus den Axiomen und
Postulaten Euklids abgeleitete Geometrie. Weil der seit Euklid überlieferte
Aufbau der Theorie noch Genauigkeitslücken enthielt, hat David Hilbert in
seinen Grundlagen der Geometrie (1899 und viele weitere Auflagen) ein
Axiomensystem
aufgestellt, aus dem er die euklidische Geometrie bis auf Isomorphie eindeutig
aufbauen konnte. Danach kann diese eindeutig beschrieben werden als der
dreidimensionale reelle Vektorraum,
in dem die Punkte durch die Vektoren
dargestellt werden und die Geraden durch die Nebenklassen der eindimensionalen
Unterräume. Strecken, Senkrechtstehen, Winkel usw. werden wie in der seit
Descartes üblichen
analytischen Geometrie erklärt.
- Nichteuklidische Geometrie:
Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur
euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat
(auch Parallelenaxiom genannt) nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und
hyperbolische
Geometrien.
- Absolute Geometrie: ist der gemeinsame Unterbau der euklidischen und der
nichteuklidischen Geometrien, d.h. die Menge aller Sätze, die ohne das
Parallelenpostulat bewiesen werden.
In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die
bestimmte Eigenschaften nicht zerstören (also ihre Automorphismen): Zum Beispiel
ändern weder eine Parallelverschiebung noch
eine Drehung oder Spiegelung in
einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten.
Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert,
eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen und Spiegelungen. Man
sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer
ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand zweier Punkte eine
euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem
Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und
ihrer Invarianten definiert (Abbildungsgeometrie);
jedoch ist das keineswegs die einzig mögliche Definition. Im Folgenden sind
Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
- Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei
Punkten einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
- Ähnlichkeitsgeometrie,
zusätzlich zur affinen Geometrie sind Streckenverhältnisse und Winkel
invariant.
- Euklidische Geometrie; zusätzliche Invarianten sind die Abstände von Punkten und die
Winkel.
- Nichteuklidische Geometrie:
Invariant sind die Kollinearität von Punkten, die Abstände von
Punkten und die Winkel. Die beiden nichteuklidischen Geometrien passen jedoch
nicht in die obige Hierarchie.
Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen
Die folgende Liste umfasst sehr große und weitreichende Gebiete
mathematischer Forschung.
- Elementargeometrie
- Die Differentialgeometrie
ist das Teilgebiet der Geometrie, in dem insbesondere Methoden der Analysis und
der Topologie zur
Anwendung kommen. Die Elementare Differentialgeometrie, die Differentialtopologie,
die Riemannsche Geometrie und die Theorie der Lie-Gruppen
sind unter anderem Teilgebiete der Differentialgeometrie.
- Algebraische Geometrie.
Man könnte sie auch als Gebiet der Algebra betrachten. Sie
benutzt seit Bernhard Riemann auch Kenntnisse aus der Funktionentheorie.
- Konvexgeometrie,
die im Wesentlichen von Hermann Minkowski begründet wurde.
- Synthetische Geometrie
führt den klassischen Ansatz der reinen Geometrie fort,
indem anstelle algebraischer Objekte (Koordinaten, Morphismen, ...) abstrakte
geometrische Objekte (Punkte, Geraden) und deren Beziehungen (Schnitt,
Parallelität, Orthogonalität, ...) zugrunde gelegt werden.
Die Inzidenzgeometrie
gehört hier heute zu den allgemeinsten Ansätzen.
- Algorithmische Geometrie (computational geometry)
- Diskrete Geometrie, die als weiteres, ältestes Untergebiet die kombinatorische Geometrie enthält und sich mit
Polyedern, Pflasterungen, Packungen der
Ebene und des Raumes, Matroiden,
im Teilgebiet der endlichen Geometrie mit Inzidenzstrukturen,
Blockplänen und Ähnlichem
beschäftigt.
Geometrie in Schule und Unterricht
Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal
und Geodreieck, aber auch der Computer
(Dynamische Geometrie) verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen
sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen
Größen wie Länge,
Winkel, Fläche,
Volumen, Verhältnisse
usw. Auch komplexere Objekte wie spezielle Kurven
oder Kegelschnitte kommen vor.
Darstellende
Geometrie ist die zeichnerische Darstellung der dreidimensionalen
euklidischen Geometrie in der (zweidimensionalen) Ebene.
Basierend auf einem Artikel in: 
Wikipedia.de
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:
Jena, den: 29.09. 2022
