Abstand
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Der Abstand, auch die Entfernung oder die Distanz zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte.
Im euklidischen Raum ist dies die Länge der geradlinigen Strecke zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte.
Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.
Der Abstand, die Entfernung, die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems, nicht aber von dessen Skalierung (siehe auch Maßstabsfaktor).
In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand angegeben.
Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.
Euklidischer Abstand
Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
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Für die Ebene ():
Für den dreidimensionalen Raum ():
Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand vom Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.
Abstand in der Ebene
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Der Abstand zwischen dem Punkt
und der Geraden mit der Koordinatenform
beträgt:
Der Punkt auf der Geraden, der
am nächsten liegt, hat die Koordinaten
Wenn die Gerade durch die Punkte
und
verläuft, ist
Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.
Abstand im dreidimensionalen Raum
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Der Abstand zwischen dem Punkt
und der Geraden, die durch die Punkte
und
verläuft, beträgt:
Abstand zwischen zwei Geraden
Zwei Geraden, wobei die eine durch
die Punkte
und
und die andere durch die Punkte
und
verläuft, haben folgenden Abstand:
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Der Abstand zwischen dem Punkt
und der Ebene
mit der Koordinatenform
beträgt:
Wenn drei Punkte ,
,
gegeben sind, durch die die Ebene verläuft (siehe Dreipunkteform), dann
lässt sich der Abstand mit folgender Formel
berechnen:
Dabei steht
für das Kreuzprodukt,
für das Skalarprodukt
und
für den Betrag
des Vektors. Alternativ kann man auch
einsetzen.
Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen
Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.
Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.
In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.
Siehe auch
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.08. 2021