Wurzelortskurve

Die Wurzelortskurve (WOK) ist eine grafische Darstellung der Lage der Polstellen und Nullstellen der komplexen Führungs-Übertragungsfunktion F₀(s) eines Regelkreises in Abhängigkeit von einem Parameter und wird im Bereich der Regelungstechnik zu Stabilitätsuntersuchungen eingesetzt. Das Verfahren der Wurzelortskurve kann sowohl in der komplexen s-Ebene, für kontinuierliche Systeme, als auch in der komplexen z-Ebene für zeitdiskrete Systeme angewendet werden. Das Verfahren wurde 1948 vom US-amerikanischen Regelungstechniker Walter Richard Evans entwickelt. Mit dem Verfahren der Wurzelortskurve können Systeme mit Totzeiten nicht auf Stabilität analysiert werden.

Allgemeines

System A_ol (Regelstrecke) mit Rückkopplung über ein P-Glied mit dem Faktor β

Die Stabilität eines Systems wird durch die Position seiner Polstellen in der komplexen Ebene bestimmt. Beispielsweise und anhand der nebenstehenden Abbildung dargestellt, bewirken bei dem zeitkontinuierlichen System A_ol Polstellen in der Übertragungsfunktion in der rechten s-Halbebene, d.h. mit positiven Realteil, eine Instabilität. Durch die Möglichkeit einer Rückkopplung lässt sich die Position dieser Polstellen in der komplexen Ebene bei dem rückgekoppelten System verschieben, die Wurzelortskurve stellt dabei grafisch eine Möglichkeit dar, diese Polstellenverschiebung zu veranschaulichen.

In der rechten Abbildung ist die Rückkopplung im einfachsten Fall mit einem konstanten Faktor β dargestellt. Die Systemfunktion ist beispielhaft und der Einfachheit wegen als ein System 1. Ordnung gegeben:

$A_{OL}={\frac {b}{s-a}}$

Für $a>0,b>0$ ist dieses System instabil, da die Polstelle rechts der imaginären Achse liegt. Die Übertragungsfunktion des rückgekoppelten Systems zwischen Eingang und Ausgang ist:

$G(s)={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}}={\frac {b}{s-a+\beta \cdot b}}$

und besitzt eine Polstelle bei $s=a-\beta \cdot b$ . In der Wurzelortskurve wird die Verschiebung der Polstelle als Funktion des Verstärkungsfaktors β grafisch dargestellt. In diesem Fall wird das rückgekoppelte System für Verstärkungswerte $\beta \geq {\frac {a}{b}}$ stabil. Umgekehrt lässt sich ein stabiles System A_ol mit obiger Systemfunktion und den Parametern $a<0,b>0$ mit einer positiven Rückkopplung $\beta <0$ in ein instabiles rückgekoppeltes System überführen.

Die Wurzelortskurve verdeutlicht die Verschiebung der Polstellen in Abhängigkeit von den Parametern der Rückkopplungen bzw. des Reglers und ermöglicht dadurch Rückschlüsse auf das Stabilitätsverhalten und die Dynamik des Regelkreises. Bei Systemen höher Ordnung nimmt die Verschiebung der Polstellen in der komplexen Ebene kompliziertere Formen an und erfordert im nachfolgenden dargestellte Konstruktionsvorgaben zur Bestimmung.

Definition

Sei im Folgenden G₀ die Übertragungsfunktion des offenen (nicht rückgekoppelten) Systems. Zur Wurzelortskurve gehören alle Punkte der komplexen Ebene, welche die charakteristische Gleichung:

$1+k\cdot G_{0}(s)=0$

erfüllen. Gilt $\quad 0\leq k<\infty$ , so handelt es sich um die eigentliche Wurzelortskurve, ansonsten um die komplementäre (oder uneigentliche) Wurzelortskurve. Eine Lösung der Gleichung für festes k heißt Wurzelort.

Eigenschaften

Die Wurzelortskurve ist symmetrisch zur reellen Achse. Sie beginnt für k=0 in den Polen $s_{i}$ des offenen, korrigierten Kreises (L(s)=H(s)*G(s)) und endet für $k\to \pm \infty$ in seinen Nullstellen $s_{0i}$ . Lösungen für $k\geq 0$ gehören der eigentlichen (positiven) WOK an, die Kurven für $k<0$ gehören zur komplementären (negativen) WOK.

Exakte Konstruktion

Beispiel einer Wurzelortskurve mit vier Polen und vier Nullstellen

Für die exakte Konstruktion der Wurzelortskurve wird die Übertragungsfunktion der offenen Kette wie folgt zerlegt:

$G_{0}(s)=k{\hat {G}}_{0}(s)=k{\frac {\Pi _{i=1}^{q}(s-s_{0i})}{\Pi _{i=1}^{n}(s-s_{i})}}$

Darin bezeichnen die Systemordnung und die Anzahl der Nullstellen des Systems. Zur Wurzelortskurve gehören alle komplexen Punkte, welche die Amplitudenbedingung und die Phasenbedingung erfüllen:

Amplitudenbedingung: ${\frac {|\Pi _{i=1}^{q}(s-s_{0i})|}{|\Pi _{i=1}^{n}(s-s_{i})|}}={\frac {1}{|k|}}$ ,

Phasenbedingung: $\sum _{i=1}^{q}\Phi _{0i}-\sum _{i=1}^{n}\Phi _{i}=(2l+1)\pi ,\quad l=0,1,2,...$ ,

wobei $\Phi _{0i}$ und $\Phi _{i}$ für jede Nullstelle bzw. jeden Pol die mathematisch positiv gezählten Winkel zwischen einem von Nullstelle bzw. Pol gedachten waagerechten nach rechts zeigenden Strahl und dem zu überprüfenden Punkt bezeichnen.

Die Amplitudenbedingung kann auch verwendet werden, um für einen gegebenen Punkt der Wurzelortskurve die zugehörige Verstärkung zu bestimmen.

Regeln zum Skizzieren

Die Amplituden- und Phasenbedingung kann zur numerischen Konstruktion der Wurzelortskurve durch einen Rechner genutzt werden. Ihre Verwendung zur manuellen Skizzierung ist unhandlich, daher wurden folgende Konstruktionsregeln abgeleitet.

Ursprung/Ende: Jeder Ast der Wurzelortskurve beginnt in einem Pol der offenen Kette $G_{0}$ und endet in einer Nullstelle der offenen Kette, oder im Unendlichen.
Asymptoten: Für große Verstärkungen nähern sich die Äste Geraden asymptotisch an. Die Anzahl der Asymptoten ist $n-q$ . Die Asymptoten haben für Neigungswinkel $\phi _{\mathrm {As} }={\frac {\pi +l\cdot 2\pi }{n-q}},\quad l=0,1,...,n-q-1$ und schneiden sich im gemeinsamen Schnittpunkt (Wurzelschwerpunkt) $s_{\mathrm {As} }={\frac {\sum _{i=1}^{n}s_{i}-\sum _{i=1}^{q}s_{0i}}{n-q}}$ .
Reelle Achse: Zur eigentlichen Wurzelortskurve gehören genau die Punkte der reellen Achse, für die die Anzahl der von dort aus gesehen rechts gelegenen reellen kritischen Stellen (Nullstellen und Pole) ungerade ist. Alle übrigen Punkte auf der reellen Achse gehören zur komplementären WOK (). Jeder Punkt auf der reellen Achse ist also Teil einer WOK: entweder Teil der eigentlichen WOK () oder Teil der komplementären WOK ().
Verzweigungs- und Vereinigungspunkte: Verzweigungs- und Vereinigungspunkte sind genau solche Punkte, die sowohl die Phasenbedingung als auch die Gleichung $\sum _{i=1}^{q}{\frac {1}{s-s_{0i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{s-s_{i}}}$ erfüllen.

Anwendung

Die Wurzelortskurve ermöglicht die Analyse der Stabilität, wenn der geschlossene Regelkreis $\left(G(s)={\frac {G_{0}(s)}{1+G_{0}(s)}}\right)$ gegeben ist, ohne die Führungs-Übertragungsfunktion G(s) explizit auszurechnen. Wenn alle Pole und Nullstellen in $Re(-)$ (offene linke Halbebene) liegen, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Befinden sich ein oder mehrere Pole in $Re(+)$ (offene rechte Halbebene), ist das System instabil. Befinden sich ein oder mehrere Pole auf der imaginären Achse und alle restlichen Pole in der linken Halbebene, so spricht man von einem bedingt stabilen oder grenzstabilen System. Befinden sich alle Pole auf der imaginären Achse (Realteil gleich 0), so handelt es sich um ein ungedämpftes System. Existiert ein komplex-konjungiertes Polpaar so ist das System schwingungsfähig. Befindet sich dieses in der linken Halbebene, so ist das System gedämpft schwingungsfähig. Befindet sich das Komplex konjugierte Polpaar in der rechten Halbebene, ist das System ungedämpft schwingungsfähig, und damit instabil.

Die Wurzelortskurve ist für lineare und zeitinvariante Systeme wie beispielsweise PID-Regler geeignet. Als freier Parameter wird meist die Verstärkung genommen, was für einen Reglerentwurf durch das Wurzelortskurvenverfahren ausgenutzt wird. Für Systeme mit Totzeit ist das Verfahren nicht geeignet.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de