Lemma von Itō
Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, die Funktionen eines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen Differential- und Integralrechnung.
Version für Wiener-Prozesse
Sei
ein (Standard-)Wiener-Prozess und
eine zweimal stetig
differenzierbare Funktion. Dann gilt
Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.
Für den durch
für
definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise
Version für Itō-Prozesse
Ein stochastischer Prozess
heißt Itō-Prozess,
falls
für zwei stochastische Prozesse ,
gilt (genaueres dazu unter stochastische
Integration). In Differentialschreibweise:
Ist
eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig
differenzierbare Funktion, so ist auch der durch
definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt[1]
Hierbei bezeichnen
und
die partiellen
Ableitungen der Funktion
nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der
ersten durch Einsetzen von
und Zusammenfassen der
-
und
-Terme.
Version für Semimartingale
Sei
ein
-wertiges
Semimartingal und sei
.
Dann ist
wieder ein Semimartingal und es gilt
Hierbei ist
der linksseitige Grenzwert und
der zugehörige Sprungprozess.
Mit
wird die quadratische
Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten
und
bezeichnet. Falls
ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte Summe in der Formel und
es gilt
.
Beispiele
- Für
gilt
.
- Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung
-
- eine Lösung der stochastischen
Differentialgleichung von Black
und Scholes
- ist.
- Hierzu wählt man
, also
.
- Dann ergibt das Lemma mit
:
- Ist
ein
-dimensionaler Wiener-Prozess und
zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für
-
,
- wobei
den Gradienten und
den Laplace-Operator von
bezeichnen.
Literatur
- Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.10. 2021