Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist derjenige Mittelwert, der als die n-te Wurzel aus dem Produkt der n beachteten Zahlen berechnet ist.

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert ${\sqrt[{2}]{1\cdot 2}}\approx 1,41\ ,$ (arithmetisches Mittel = 1,5; die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).

Definition

Das geometrische Mittel der Zahlen $x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$ (mit x_i > 0 für alle $i=1,\ldots,n$ ) ist gegeben durch die -te Wurzel des Produkts der Zahlen:

$\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n}$

Eigenschaften

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel nur für nichtnegative Zahlen $x_{i}$ definiert und meistens nur für echt positive reelle Zahlen sinnvoll, denn wenn ein Faktor gleich null ist, ist schon das ganze Produkt gleich null. Für komplexe Zahlen wird es nicht eingesetzt, da die komplexen Wurzeln mehrdeutig sind.

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel besagt, dass

$\bar{x}_\mathrm{geom} \leq \bar{x}_\mathrm{arithm}$ ,

also dass das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist. Äquivalent dazu gilt:

$\log_a \bar{x}_\mathrm{geom} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log_a x_i,$

das heißt, der Logarithmus des geometrischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis des Logarithmus beliebig gewählt werden darf.

Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel lässt sich ein mit den Gewichten $w_{i}>0$ gewichtetes geometrisches Mittel definieren:

${\bar {x}}_{{\mathrm {geom}}}={\sqrt[ {w}]{\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}}}}$

wobei $w:=\sum _{{i=1}}^{{n}}w_{i}$ . Das arithmetisch-geometrische Mittel ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Außerdem gilt für n=2 und $w_{1}=w_{2}=1$

$x_{{\mathrm {geom}}}={\sqrt {x_{{\mathrm {arithm}}}\cdot x_{{\mathrm {harm}}}}}$

mit dem arithmetischen und dem harmonischen Mitte.

Anwendungsbeispiele

Das geometrische Mittel wird angewendet, wenn die Entfernung der einzelnen Werte von deren Mittelwert gleich sein soll. Dies ist beim arithmetischen Mittel nicht der Fall. So ergibt sich aus 1 und 9 das arithmetische Mittel 5. Dabei ist die 1 vom Mittelwert 5 um Faktor 5 entfernt, während die 9 lediglich um Faktor 1,8 davon enfernt liegt. Das geometrische Mittel aus 1 und 9 hingegen ergibt den Mittelwert 3. Sowohl der niedrige Wert "1" wie auch der hohe Wert "9" sind vom Mittelwert 3 um Faktor 3 entfernt. Der Unterschied zwischen arithmetischem und geometrischem Mittelwert kann beträchtlich sein, was in der Praxis unter Umständen zur Fehlinterpretation von Durchschnittsangaben führt. So ergeben sich beispielsweise aus 0,02 und 10 die Mittelwerte 5,01 (arithmetisch) und 0,45 (geometrisch).

Beispiele:

Das geometrische Mittel zweier Werte ist ${\sqrt {ab}}$ , z.B. von und : ${\sqrt {3\cdot 300}}=30$ .
Von einer 0,1 molaren Lösung und einer 10 molaren Lösung werden Eigenschaften bestimmt, die sich konzentrationsabhängig einem linearen Zusammenhang folgend verändern. Um eine Lösung zu erhalten, die durchschnittliche Eigenschaften besitzt, muss das geometrische Mittel gebildet werden, das in diesem Fall = 1 ist. Der arithmetische Mittelwert hingegen würde eine 5,05 molare Lösung beschreiben, die vorwiegend die Eigenschaften der 10 molaren Lösung aufweist, sich also gar nicht durchschnittlich verhält.
Ein Guthaben wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

Guthaben $G_{{\mathrm {Ende}}}$ am Ende des dritten Jahres:

$G_{{\mathrm {Ende}}}=\left(1+{\frac {2}{100}}\right)\left(1+{\frac {7}{100}}\right)\left(1+{\frac {5}{100}}\right)G$

oder mit Zinsfaktoren geschrieben

$G_{{\mathrm {Ende}}}=1{,}02\cdot 1{,}07\cdot 1{,}05\cdot G$

Mit konstantem Zinssatz und zugehörigen Zinsfaktor 1+p ergibt sich am Ende ein Guthaben von

$G_{{\mathrm {konst}}}=(1+p)^{3}\;G$

Mit $G_{{\mathrm {konst}}}=G_{{\mathrm {Ende}}}$ ergibt sich

$(1+p)^{3}G=1{,}02\cdot 1{,}07\cdot 1{,}05\cdot G$

und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor 1+p zu

$1+p={\sqrt[ {3}]{1{,}02\cdot 1{,}07\cdot 1{,}05}}\approx 1{,}04646$

Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ca. $4{,}646\%$ . Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel ${\tfrac {14}{3}}\%\approx 4{,}667\%$ beträgt.

Geometrische Interpretation

Das geometrische Mittel zweier Zahlen und liefert die Seitenlänge eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck mit den Seitenlängen und . Diese Tatsache wird durch die geometrische Quadratur des Rechtecks veranschaulicht.

Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem Quader mit den drei Seitenlängen, und entsprechend im -dimensionalen bei Zahlen den Seitenlängen von Hyperwürfeln.

Siehe auch

Hölder-Mittel

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de