Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, benannt nach Robert Schatten, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen $\ell ^{p}$ gemeinsam.

Definition

Ist $T\colon H\rightarrow G$ ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab) Hilberträumen, so gibt es eine monoton fallende Folge $(s_{n})_{n}$ nicht-negativer reeller Zahlen mit $s_{n}\rightarrow 0$ und orthonormale Folgen $(e_{n})_{n}$ in und $(f_{n})_{n}$ in , sodass

$\textstyle Tx=\sum _{{n=1}}^{\infty }s_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n}$ für alle $x\in H$ gilt und
die Operatoren $\textstyle \sum _{{n=1}}^{N}s_{n}\langle \cdot ,e_{n}\rangle f_{n}$ für $N\to\infty$ in der Operatornorm gegen konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge $(s_{n})_{n}$ ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch bestimmt. Man schreibt daher $s_{n}(T)$ für das -te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den -ten singulären Wert von . Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators $T^{*}T\in L(H)$ bilden.

Für $1\leq p<\infty$ ist die p-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von nach durch

${{\mathcal S}}_{p}(H,G)\,:=\,\{T:H\rightarrow G;\,T\,{{\rm {kompakt}}},\,(s_{n}(T))_{n}\in \ell ^{p}\}$

definiert. Dabei ist $\ell ^{p}$ der Folgenraum der zur -ten Potenz summierbaren Folgen. Für $T\in {{\mathcal S}}_{p}(H,G)$ definiert man die -Norm des Operators gerade durch diese Norm auf der Folge:

$\|T\|_{p}:=(\sum _{{n=1}}^{\infty }s_{n}(T)^{p})^{{{\frac {1}{p}}}}$

Die -Norm des Operators ist also genau die $\ell ^{p}$ -Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall G=H schreibt man abkürzend ${{\mathcal S}}_{p}(H):={{\mathcal S}}_{p}(H,H)$ . Oftmals nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für p=1 entspricht der Raum ${{\mathcal S}}_{1}(H,G)$ der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für p=2 entspricht ${{\mathcal S}}_{2}(H,G)$ dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den $\ell ^{p}$ -Räumen gemeinsam. ${\mathcal S}_p(H)$ ist mit der -Norm ein Banachraum. Für $p\leq q$ gilt $\|\cdot \|_{p}\geq \|\cdot \|_{q}$ und daher ${{\mathcal S}}_{p}(H)\subset {{\mathcal S}}_{q}(H)$ . Ferner gilt stets $\|T\|\leq \|T\|_{p}$ , wobei $\|T\|$ die Operator-Norm von ist.

${\mathcal S}_p(H)$ ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind $T\in {{\mathcal S}}_{p}(H)$ und $A,B\in L(H)$ stetige lineare Operatoren auf , so ist $ATB\in {{\mathcal S}}_{p}(H)$ und es gilt $\|ATB\|_{p}\leq \|A\|\|T\|_{p}\|B\|$ . Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in .

Seien $1 < p,q < \infty$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ konjugierte Zahlen. Sind dann $T\in {{\mathcal S}}_{p}(H)$ und $S\in {{\mathcal S}}_{q}(H)$ , so ist das Produkt ein Spurklasse-Operator und es gilt $Sp(TS)\leq \|T\|_{p}\|S\|_{q}$ . Jedes $S\in {{\mathcal S}}_{q}(H)$ definiert daher durch $T\mapsto Sp(TS)$ ein stetiges lineares Funktional $\psi _{S}$ auf ${\mathcal S}_p(H)$ . Man kann zeigen, dass die Abbildung $S\mapsto \psi _{S}$ ein isometrischer Isomorphismus von ${\mathcal S}_q(H)$ auf den Dualraum von ${\mathcal S}_p(H)$ ist, oder kurz ${{\mathcal S}}_{p}(H)\,'\cong {{\mathcal S}}_{q}(H)$ . Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für $1<p<\infty$ reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für ${{\mathcal S}}_{1}(H)$ nicht der Fall. Die Verhältnisse für ${{\mathcal S}}_{1}(H)$ sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de