Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen $f\colon X\to \mathbb {C}$ und eine beliebige Teilmenge von sei

$\Vert f\Vert _{A}:=\sup _{x\in A}\left|f(x)\right|$

die Supremumsnorm. Eine Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ von Funktionen $f_{n}\colon X\to \mathbb {C}$ heißt normal konvergent, wenn es zu jedem $x\in X$ eine Umgebung von gibt, sodass gilt:

$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{U}<\infty$

Beispiel

Betrachte die Funktionenfolge $f_{n}(x):=x^{n}$ auf dem kompakten Intervall $I:=[-q,q]$ mit 0<q<1 . Dann ist $\Vert f_{n}\Vert _{I}=q^{n}$ und die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{I}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$

konvergiert (als geometrische Reihe wegen |q|<1 ). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion $\textstyle x\mapsto {\frac {1}{1-x}}$ ist stetig auf .

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt $x_{0}\in X$ gibt es eine Umgebung $U(x_{0})$ , in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.

Sind alle $f_{n}$ stetig, so ist auch die Grenzfunktion $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ stetig, wenn $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ normal konvergiert.

Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.

Literatur

R. Remmert: Funktionentheorie I. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995.

Basierend auf einem Artikel in:

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