Maximaler Torus

In der Mathematik ist ein maximaler Torus einer kompakten Lie-Gruppe eine maximale kompakte, zusammenhängende, abelsche Untergruppe .

Er ist ein -Torus, seine Dimension ist per Definition der Rang der kompakten Lie-Gruppe .

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element $g\in G$ zu einem Element aus konjugiert ist.

Beispiele

Für G=U(n) ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen $T=\left\{\operatorname {diag} (e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}):\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}$ ein maximaler Torus.

Für $G=SO(2n)$ ist die Untergruppe aller Blockdiagonalmatrizen mit 2×2-Blöcken aus SO(2) ein maximaler Torus.

Eigenschaften

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element $g\in G$ zu einem Element aus konjugiert ist.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen:

Alle maximalen Tori sind konjugiert zueinander.
Alle maximalen Tori haben dieselbe Dimension, den Rang von .
Ein maximaler Torus ist eine maximale abelsche Untergruppe.
Die maximalen Tori sind die Bilder maximaler abelscher Unteralgebren unter der Exponentialabbildung $exp:{\mathfrak {g}}\to G$ .
Jedes Element $g\in G$ liegt in einem maximalen Torus.
Die Differenz aus der Dimension und dem Rang von ist eine gerade Zahl.

Literatur

T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98 (2nd ed.), Springer, 1995, ISBN 3540136789
J. F.Adams: Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, 1969, ISBN 0226005305
S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, 1977, ISBN 0821828487

Basierend auf einem Artikel in:

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