Stark stetige Gruppe

Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie $(T(t))_{{t\in \mathbb{R} }}$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

Seien ein Banachraum und $T=(T(t))_{{t\in \mathbb{R} }}$ eine Familie beschränkter linearer Operatoren $T(t):X\rightarrow X$ für $t\in\R$ . Gilt

,
für alle $s,t\in \mathbb{R}$ und
$\lim _{{t\rightarrow 0}}T(t)x=x$ für alle $x\in X$ ,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

Der (infinitesimale) Erzeuger (A,D(A)) ist gegeben durch

$D(A):=\left\{x\in X:\lim _{{h\rightarrow 0}}{\frac {T(h)x-x}h}\ {\mathrm {existiert}}\right\}$

und

$Ax:=\lim _{{h\rightarrow 0}}{\frac {T(h)x-x}h}$ für $x\in D(A)$ .

Folgerungen

Erzeugen eine stark stetige Halbgruppe $(T_{+}(t))_{{t\geq 0}}$ mit $\|T_{+}(t)\|\leq Me^{{\omega t}}$ und eine stark stetige Halbgruppe $(T_{-}(t))_{{t\geq 0}}$ mit $\|T_{-}(t)\|\leq Me^{{\omega t}}$ für ein $\omega \in \mathbb{R}$ , und alle .

So ist

der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe $(T(t))_{{t\geq 0}}$ mit $T(t)=T_{+}(t)$ für $t\geq 0$ , $T(t)=T_{-}(-t)$ für t<0

und $\|T(t)\|\leq Me^{{\omega |t|}}$ für $t\in\R$ .

Sei ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere $\omega \in \mathbb{R}$ und , so dass $(\omega ,\infty )\cup (-\infty ,-\omega )\subset \rho (A)$ und $\|((|\lambda |-\omega )R(\lambda ,A))^{n}\|\leq M$ für alle $\lambda >\omega ,\lambda <-\omega$ und alle $n\in \mathbb {N}$ .

Dann erzeugt (A,D(A))

eine stark stetige Gruppe $(T(t))_{{t\in \mathbb{R} }}$ mit $\|T(t)\|\leq Me^{{\omega |t|}}$ für alle $t\in\R$ . Hierbei stehen $R(\lambda ,A)$ für die Resolvente und $\rho (A)$ für die Resolventenmenge von .

Satz von Stone

Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien ein Hilbertraum und eine stark stetige Gruppe, wobei T(t) für alle $t\in\R$ unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator , so dass der Erzeuger von ist. Umgekehrt erzeugt für jeden selbstadjungierten Operator eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de