Resolvente

In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl z verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte z, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

Für einen linearen Operator (oder auch eine Matrix $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$ ) definiert man die Resolventenmenge $\rho (A)$ als das Komplement des Spektrums von , d.h. als die Menge aller komplexen Zahlen , für die der Operator zI-A beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

$R\left(A,z\right)=(zI-A)^{{-1}}\ .$

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente $R\left(A,z\right)=(A-zI)^{{-1}}$ , was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf $\{z\in {\mathbb {C}}:|z|>r\}$ , wobei der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

$R\left(A,z\right)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{n}}{z^{{n+1}}}}$ .

Die Resolvente wird u.a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Franz Rellich-Tosio Kato und John William Strutt, 3. Baron Rayleigh-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus $\left(z_{1}-z_{2}\right)I=z_{1}I-A-(z_{2}I-A)$ folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

$R\left(A,z_{2}\right)-R(A,z_{1})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{1})R(A,z_{2})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{2})R(A,z_{1}),$

und aus $A_{1}-A_{2}=zI-A_{2}-\left(zI-A_{1}\right)$ folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

$R\left(A_{1},z\right)-R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z).$

Siehe auch

Lagrange-Resolvente

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de