Gâteaux-Differential

Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion $f\colon G\to \mathbb {R} ,\ G\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Menge, die an der Stelle $x_{0}\in G$ differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

${\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{i}}}=\lim _{{h\to 0}}{\frac {f(x_{{0,1}},x_{{0,2}},\ldots ,x_{{0,i}}+h,\ldots ,x_{{0,n}})-f(x_{0})}{h}},\ \ (i={1,2,...,n})$ .

Insbesondere ergibt sich für n=1 das bekannte Differential

${\frac {{\mathrm {d}}f(x_{0})}{{\mathrm {d}}x}}=\lim _{{h\to 0}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ .

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Definitionen

Weierstraßsche Zerlegungsformel

Sei $f\colon D\subset X\to Y$ mit offen und X,Y normierte Räume. Dann heißt in $x_{0}\in D$ Gâteaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion $A\in L(X,Y)$ existiert, sodass

$\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {1}{t}}[f(x_{0}+th)-f(x_{0})-tAh]=0$

für alle $h\in X$ mit $\lVert h\rVert =1$ . Dies ist äquivalent zu:

$f(x_{0}+th)-f(x_{0})=tAh+o(|t|)$

Dann bezeichnet man $A=:f'(x_{0})$ als die Gâteaux-Ableitung von im Punkt $x_{0}$ .

1. Variation; Variationsableitung

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich $f\colon D(f)\to {\mathbb {R}}$ ein in $D(f)\subseteq \Omega$ definiertes Funktional; $\Omega$ sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm $\|\cdot \|$ ) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei $x_{0}\in D(f)$ und $v\in \Omega$ . Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle $x_{0}$ in Richtung , falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach $\epsilon$ :

$\delta f(x_{0},v)=\lim _{{\epsilon \to 0}}{\frac {f(x_{0}+\epsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\epsilon }}=\left.{\frac {{\mathrm {d}}f(x_{0}+\epsilon \cdot v)}{{\mathrm {d}}\epsilon }}\right|_{{\epsilon =0}}$

oder auch für $x_{1}\in D(f)$ durch

$\delta f(x_{0},x_{1}-x_{0})=\lim _{{\epsilon \to 0}}{\frac {f(x_{0}+\epsilon \cdot (x_{1}-x_{0}))-f(x_{0})}{\epsilon }}\,.\,$

Man beachte dabei $x_{0}\in D(f)$ , $v\in \Omega$ und ebenfalls $x_{1}-x_{0}$ darin, aber $\epsilon \in {\mathbb {R}}$ .

Die Gâteaux-Ableitung nach $\epsilon$ ist bezüglich der Größe $h:=x_{1}-x_{0}$ ein Funktional, das auch als 1. Variation von an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet, und statt der Größe $h:=x_{1}-x_{0}$ schreibt man meist $\delta q(x)$ , mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung ${\tfrac {dI(x+\epsilon \cdot h)}{d\epsilon }}_{{\,|\epsilon =0}}$ führt man in einem Zusatzschritt die sogenannte Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel

Für

$f(\epsilon ):=\int \,{{\rm {d}}}t\,{\mathcal L}\left(t,q(t)+\epsilon \cdot \delta q(t),{\dot q}(t)+\epsilon \cdot {\frac {{{\rm {d}}}(\delta q(t))}{{{\rm {d}}}t}}\right)$

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form $\textstyle {\frac {{{\rm {d}}}f}{{{\rm {d}}}\epsilon }}(\epsilon \to 0)\,=\,\int \,{{\rm {d}}}t\,{\frac {\delta {\mathcal L}}{\delta q(t)}}\cdot \delta q(t)$ mit der Variationsableitung

${\frac {\delta {\mathcal L}}{\delta q(t)}}\equiv {\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial q(t)}}-{\frac {{{\rm {d}}}}{{{\rm {d}}}t}}{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\dot q}(t)}}\,.$

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung ${\tfrac {\partial {\mathcal L}}{\partial x_{i}}}$ einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall ${\mathcal L}={\mathcal L}(x_{1},...,x_{n})$ . So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier $\delta f$ , das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation

$\delta ^{2}f(x_{0},v)=\left.{\frac {{\mathrm {d}}^{2}f(x_{0}+\epsilon \cdot v)}{{\mathrm {d}}\epsilon ^{2}}}\right|_{{\epsilon =0}}$

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

$\delta _{+}f(x_{0},v)=\lim _{{\epsilon \to 0^{+}}}{\frac {f(x_{0}+\epsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\epsilon }}$

beziehungsweise durch

$\delta _{-}f(x_{0},v)=\lim _{{\epsilon \to 0^{-}}}{\frac {f(x_{0}+\epsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\epsilon }}$

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von an der Stelle $x_{0}$ genannt. Für die zum Vektor gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von in Richtung an der Stelle $x_{0}$ .

Gâteaux-Ableitung

Ist $\delta f(x_{0},v)$ ein in stetiges lineares Funktional (d.h. die Funktion vermittelt durch $v\mapsto \delta f(x_{0},v)$ ist homogen, additiv und stetig im Argument ), dann heißt $f'(x_{0})$ Gâteaux-Ableitung an der Stelle $x_{0}$ und Gâteaux-differenzierbar in $x_{0}$ .

Eigenschaften der 1. Variation

Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
$\delta f(x_{0},k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_{0},v)$
für alle $k\in {\mathbb {R}}$ . Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

Das Gâteaux-Differential ist nicht linear. Im allgemeinen Fall gilt also
$\delta f(x_{0},v)+\delta f(x_{0},w)\neq \delta f(x_{0},v+w).$
Für ein Beispiel, dass das Gâteaux-Differential nicht linear ist, betrachte $f(x)={\tfrac {x_{1}^{2}x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}$ für $x\neq 0$ und , wobei , dann ist
$\delta f(0,v)=\lim _{{\epsilon \to 0}}{\frac {f(0+\epsilon \cdot v)-f(0)}{\epsilon }}=\lim _{{\epsilon \to 0}}{\frac {f(\epsilon \cdot v)}{\epsilon }}=\lim _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\epsilon ^{2}v_{1}^{2}\cdot \epsilon v_{2}}{(\epsilon ^{2}v_{1}^{2}+\epsilon ^{2}v_{2}^{2})\epsilon }}={\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}=f(v)$ .
Die Funktion ist nicht linear. Es gilt zum Beispiel $\delta f(0,(0,1))+\delta f(0,(1,0))=0+0\neq {\tfrac {1}{2}}=\delta f(0,(1,1))$ .

Beispiele

$f(x_{1},x_{2})=1$ , falls $x_{2}=x_{1}^{2}$ , $x_{1}\neq 0$ bzw. $0$ sonst $\delta f((0,0),v)=\lim _{{t\to 0}}{\frac {0-0}{t}}=0$ .
$f(x)=|x|,\ x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $\delta _{+}f(0,v)=\lim _{{\epsilon \to 0^{+}}}{\frac {|0+\epsilon \cdot v|-0}{\epsilon }}=|v|$
$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}\left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right)$ für $x_{2}\neq 0$ und $-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}$ für , $\nabla f(x_{1},x_{2})=\left(2\cdot x_{1}\cdot \left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right),-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}\right)^{T}$

$\delta f((0,0),v)=\lim _{{\epsilon \to 0}}{\frac {(\epsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\epsilon \cdot v_{2}}}\right)}{\epsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}$ (wobei $v=(v_{1},v_{2})^{{T}}$ )

Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei $f\colon X\to \mathbb {R} ,\ X\subset D(f)\subset \Omega$ offen, $\Omega$ linearer normierter Raum, $x_{0}\in \operatorname {int}(X)$ (das Innere der Menge ), $\operatorname {int}(X)\neq \emptyset$ und $B_{\varepsilon }(x_{0})$ der offene Ball um $x_{0}$ mit Radius $\varepsilon$ . Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei $x_{0}$ ein lokales Minimum von auf , dann ist $\delta _{+}f(x_{0},v)\geq 0\ \forall v\in \Omega$ , falls das einseitige Gâteaux-Differential in $x_{0}$ existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: besitze in $B_{\varepsilon }(x_{0})$ eine 2. Variation $\forall v\in \Omega$ und $\forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})$ . Falls gilt $\delta f(x_{0},v)=0\ \forall v\in \Omega$ und für ein c>0 $\delta ^{2}f(x_{0},v)\geq c\cdot \|v\|^{2}\ \forall v\in \Omega$ und $\forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})$ , dann ist $x_{0}$ strenge lokale Minimalstelle von auf $\operatorname {int}(X)$ .

Siehe auch

Fréchet-Ableitung

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de