Körperhomomorphismus

In der Mathematik, insbesondere in der Algebra, ist ein Körperhomomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Körpern.

Definition

Seien $(K;+_{K};*_{K})$ und $(L;+_{L};*_{L})$ zwei Körper.

Eine Funktion $f\colon K\to L$ heißt Körperhomomorphismus, falls sie folgende Axiome erfüllt:

$f(0_{K})=0_{L}$ sowie $f(1_{K})=1_{L}$
$\forall a;b\in K\colon f(a+_{K}b)=f(a)+_{L}f(b)$
$\forall a;b\in K\colon f(a*_{K}b)=f(a)*_{L}f(b)$

Es ist daher unerheblich, ob Elemente zunächst in verknüpft werden und das Ergebnis anschließend durch einen Homomorphismus abgebildet wird, oder ob die Verknüpfung der entsprechenden Funktionswerte erst in geschieht.

Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt Körperisomorphismus.

Körper, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, in Zeichen $K\cong L$ , sind aus Sicht der (abstrakten) Algebra ununterscheidbar.

Ein Körperisomorphismus $f\colon K\to K$ eines Körpers in sich selbst heißt Körperautomorphismus.

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich speziell mit Körperautomorphismen, die einen gegebenen Unterkörper invariant lassen.

Eigenschaften

Jeder Körper ist insbesondere ein Ring mit Eins. Entsprechend ist ein Körperhomomorphismus $f\colon K\to L$ lediglich ein Ringhomomorphismus, für den zusätzlich gefordert wird, dass $f(1)=1$ gilt. Insbesondere induziert sowohl einen Gruppenhomomorphismus $f\colon (K,+)\to (L,+)$ der additiven Gruppen als auch einen Gruppenhomomorphismus $f\colon (K\setminus \{0\},\cdot )\to (L\setminus \{0\},\cdot )$ der multiplikativen Gruppen.
Ein Körperhomomorphismus $f\colon K\to L$ ist immer injektiv: Da der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal ist, aber der Körper nur die trivialen Ideale $\{0\}$ und besitzt, muss wegen $f(1)\neq 0$ somit $\ker f=\{0\}$ gelten. Daher ist injektiv.
Ein Körperautomorphismus $f\colon K\to K$ lässt stets zumindest den Primkörper von invariant.

Beispiele

Die komplexe Konjugation ist ein Körperautomorphismus des Körpers $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen, der den Unterkörper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen invariant lässt.
Für einen Körper, dessen Charakteristik eine Primzahl ist, ist der Frobenius-Homomorphismus $x\mapsto x^{p}$ ein Körperautomorphismus, der einen zu $\mathbb {F} _{p}$ isomorphen Unterkörper fest lässt.
Primkörper, zum Beispiel $\mathbb {F} _{p}$ , haben mit Ausnahme der Identitätsabbildung keine Körperautomorphismen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de