Primkörper

Der Primkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Algebra mit zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Zum einen wird der kleinste Teilkörper eines Körpers als dessen Primkörper bezeichnet, zum anderen wird der Begriff für endliche Körper mit Elementen verwendet, wobei eine Primzahl ist. Beide Definitionen sind eng verwandt, da der Primkörper eines Körpers mit Primzahlcharakteristik ein Primkörper gemäß der zweiten Definition ist.

Isomorphietyp der Primkörper

Die Charakteristik eines Körpers legt den Isomorphietyp seines Primkörpers fest. Ist die Charakteristik 0, so ist der Primkörper isomorph zum Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen. Dies impliziert, dass Körper, deren Charakteristik 0 ist, immer unendlich sind, schließlich enthalten sie immer $\mathbb {Q}$ . Ist sie hingegen eine Primzahl , so ist der Primkörper isomorph zum Restklassenkörper $\mathbb {F} _{p}$ . Hieraus lässt sich aber nicht folgern, dass Körper mit Primzahlcharakteristik immer endlich sind. Auch unendliche Körper können endliche Primkörper besitzen.

Weitere Eigenschaften von Primkörpern

Der Primkörper ist der Durchschnitt aller Teilkörper eines Körpers.
Jeder Körper ist Oberkörper seines Primkörpers.
Es lässt sich zeigen, dass die Ordnung jedes endlichen Körpers eine Potenz der Ordnung seines Primkörpers ist.
Alle Primkörper sind starr, d.h., sie besitzen keine nichttrivialen Automorphismen. Der Primkörper eines beliebigen Körpers kann also auf eindeutige Weise mit einem der oben genannten Körper identifiziert werden.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de