Nilpotentes Element

Ein nilpotentes Element ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Ein Element eines Rings heißt nilpotent, wenn es genügend oft mit sich selbst multipliziert das Nullelement ergibt.

Definition

Ein Element eines Ringes heißt nilpotent, wenn eine positive natürliche Zahl existiert, sodass $x^{n}=0$ gilt. Ein Ideal $I\subseteq R$ wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl existiert, sodass $I^{n}=(0)$ gilt.

Beispiele

Beispielsweise ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

nilpotent, denn es gilt

$A^{3}=0$ .

(Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.)

Im Restklassenring ${\mathbb {Z}}/8{\mathbb {Z}}$ sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder eine Einheit.

Im Restklassenring ${\mathbb {Z}}/12{\mathbb {Z}}$ sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.

Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da $0^{1}=0$ ist.

Eigenschaften

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.

Sei im Folgenden ein Ring, ein nilpotentes Element von und die kleinste natürliche Zahl mit $a^{n}=0$ .

Ist $a\neq 0$ , dann ist und ist Nullteiler, denn $aa^{{n-1}}=0$ und $a^{{n-1}}\neq 0$ .

Ist zusätzlich ein Ring mit 1 und nicht der Nullring, dann gilt:

ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus für ein Ringelement folgt der Widerspruch $0=a^{n}b=a^{{n-1}}$ ( war minimal gewählt!).
ist invertierbar, denn es gilt $(1-a)\left(1+a+a^{2}+\dotsb +a^{n-1}\right)=1-a^{n}=1=\left(1+a+a^{2}+\dotsb +a^{n-1}\right)(1-a)$ .
Ist eine Einheit von , die mit kommutiert, dann ist auch invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als $b+a=b\cdot \left(1-\left(-b^{{-1}}a\right)\right)$ sieht.

Sei ein Restklassenring ${\mathbb {Z}}/m{\mathbb {Z}}$ und das Produkt aller Primteiler von , d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung von auftreten. Z. B. für $m=12=2^{2}\cdot 3$ ist $p=6=2\cdot 3$ . Dann sind die nilpotenten Elemente von genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist der größte Exponent, der in der Primfaktorzerlegung von auftritt, dann ist $p^{k}$ ein Vielfaches von ; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von besitzen.

Ein Ring, der außer der Null keine nilpotenten Elemente enthält, wird reduziert genannt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de