Traktrix

Der Finger bewegt sich auf einer Geraden und schiebt eine auf dem Boden liegende Stange vor sich her. Die Stange bricht seitlich aus, bis sie rechtwinklig zur ursprünglichen Bewegungsrichtung steht, und wird nun vom Finger gezogen. Das ferne Ende der Stange beschreibt eine eigentliche Traktrix. Die Stange ist deckungsgleich mit dem Abschnitt der Tangente zur Traktrix, der zwischen ihrem Berührpunkt und der Geraden (der Koordinatenachse) verläuft.

Traktrix (v. lat. trahere „ziehen, schleppen“, pl. Traktizes), auch Schleppkurve, Ziehkurve, Zugkurve, Treidelkurve, ist eine spezielle ebene Verfolgungskurve. Der Name erklärt sich daraus, dass diese Kurve von einem Massenpunkt beschrieben wird, der mit einem ihn ziehenden Punkt verbunden ist, der sich im rechten Winkel zur ursprünglichen Verbindungslinie der beiden Punkte bewegt.

Eigentliche Traktrix, Funktionsgraph für x und y, P startet in (4,0)

Die eigentliche (gerade) Traktrix ist die Kurve, bei der für jede Tangente der Abschnitt zwischen dem Berührpunkt und der Koordinatenachse konstant ist. Man nennt sie auch Huygens-Traktrix, nach Christiaan Huygens, der das zugrunde liegende Problem 1693 löste, nachdem es von Claude Perrault 1670 und Isaac Newton 1676 beschrieben wurde. Sie ist eine der Kurven, die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden. Diese Kurve spielt in der hyperbolischen Geometrie eine wichtige Rolle.

Schon Leonhard Euler und andere beschäftigten sich bald darauf mit der allgemeinen Traktrix, die beliebige Leitkurven erlaubt. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Modellierung des Fahrverhaltens, nämlich der Rückwärtsfahrt und dem Verhalten beim Durchfahren einer Kurve. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse werden beim Entwurf von Straßen verwendet, um deren Befahrbarkeit zu überprüfen.

Eigentliche Traktrix

Bildungsgesetz: Sei $A_{0}$ der Startpunkt eines „Ziehenden“, und $P_{0}$ der Startpunkt eines „Gezogenen“ sowie der Abstand $A_{0}P_{0}>0$ .; Wandert der Punkt auf einer Geraden, und „folgt“ ihm der Punkt in konstantem Abstand , dann durchläuft eine Traktrix.

Funktionsgleichung in Kartesischen Koordinaten: $A_{0}(0|0)$ im Ursprung, $P_{0}(d|0)$ auf der x-Achse, bewegt sich entlang der y-Achse:; $y(x)=\pm \ d\cdot \underbrace {\ln \left|{d+{\sqrt {d^{2}-x^{2}}} \over x}\right|} _{=\operatorname {arcosh} {\frac {d}{x}}}\mp {\sqrt {d^{2}-x^{2}}}$

Eine explizite Darstellung nach x(y) ist hierbei nicht möglich.

Parameterdarstellungen

mit $t=arcosh{\frac {d}{y}}$ ergibt sich eine elegante Form (mit sech $z={\frac {1}{\cosh z}}$ ):

$x(t)=\pm \ d\cdot (t-\tanh t);$ $\quad y(t)=d\cdot \operatorname {sech} t$

mit $\omega ,\sin \omega ={\frac {y}{d}},0\leq \omega \leq {\frac {\pi }{2}}$ , dem Winkel zwischen x-Achse und Tangente – erfordert keine Hyperbelfunktion:

$x(\omega )=\pm \ d\cdot \left(\cos \omega +\ln \tan {\omega \over 2}\right);$ $y(\omega )=d\cdot \sin \omega$

mit $\lambda =\tan {\frac {\omega }{2}}$ , eine Darstellung, die die Arbeit mit tabellierten Werten erleichtert:

$x(\lambda )=\pm \ d\cdot \left({{\lambda ^{2}-1} \over {\lambda ^{2}+1}}-\ln \lambda \right);$ $y(\lambda )=2d\cdot {{\lambda } \over {\lambda ^{2}+1}}$

Herleitung

Im Folgenden sei die Kurve in 1. Hauptlage betrachtet: $A_{0}(0|0),P_{0}(0|d),A$ wandert entlang der x-Achse, mit $a=AA_{0}$ :

Mit $d^{2}=(a-x)^{2}+y^{2}$ lässt sich aus dem Bildungsgesetz direkt folgende Differentialgleichung (Tangentenbedingung) ablesen:

$y'={\mathrm {d} y \over \mathrm {d} x}=\mp \ {y \over {a-x}}=\mp \ {y \over {\sqrt {d^{2}-y^{2}}}}$
Die Lösung gelingt mit der Substitution ${\frac {d}{y}}=\cosh t$ . Dies entspricht der oben erwähnten Parameterdarstellung: $y={\frac {d}{\cosh t}}$ .
Es folgt $dy=-d\cdot {\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}dt$ und dann durch Trennung der Variablen ${\mathrm {d} }x\,=\,\mp \,{\frac {\sqrt {d^{2}-y^{2}}}{y}}\,{\mathrm {d} }y\,=\,\pm \,d\,\left(1-{\frac {1}{\operatorname {cosh} ^{2}t}}\right)\,{\mathrm {d} }t$

Integration liefert $x=\pm d\cdot (t-\tanh t)$ und Rücksubstitution:
$4.\quad x(y)=\pm \ d\,\left(\operatorname {arcosh} {d \over y}-{\sqrt {1-\left({y \over d}\right)^{2}}}\right)$

Eigenschaften

Offensichtlich ist $0<|y|\leq |d|$ . Ist liegt der Graph spiegelverkehrt zur y-Achse.
Für $P_{0}(0|d)$ fallen beide möglichen Tangenten mit der y-Achse zusammen, der Punkt $P_{0}$ ist also eine eigentliche Spitze.
Die Länge der Kurve zwischen und $x=x_{2}$ errechnet sich zu: $l=d\cdot \ln \left({y_{1} \over y_{2}}\right)$
Die Fläche unter der Traktrix: $A=d^{2}\cdot {\tfrac {\pi }{2}}$
Die Evolute der Traktrix ist die Katenoide $x=d\cdot \operatorname {cosh} \left({y \over d}\right)$
Wird diese Kurve um die x-Achse rotiert, so entsteht die Pseudosphäre, welche in der hyperbolischen Geometrie die Rolle der Kugel einnimmt. So ist etwa die Fläche unter der Traktrix dieselbe wie beim Halbkreis. Die Traktrix ist hierbei als Geodäte die Entsprechung der Geraden im „normalen“ (euklidischen) Raum.

Allgemeine Traktrix

Der Begriff der Traktrix lässt sich verallgemeinern:

Gegeben seien ein Parameter t, eine Kurve k (die Leitkurve), ein beliebiger Punkt A₀ (Startpunkt), der auf der Kurve k liegt, und ein beliebiger Punkt P₀. Sei d der Abstand A₀P₀.

Wandert der Punkt A(t) mit A(0) = A₀ mit wachsendem t nun entlang der Kurve k, so „folgt“ ihm der Punkt P(t) mit P(0) = P₀ in konstantem Abstand d.

Die Menge aller Punkte, die P(t) durchläuft, bezeichnet man als die Traktrix der Kurve k.

$\mathbf {A} (t)={\mathbf {P} (t)}+d\cdot {\frac {\mathbf {\dot {P}} (t)}{|{\mathbf {{\dot {P}}(t)} }|}}$ mit $t:{\mathbf {\dot {P}} (t)}\neq 0$

Die Traktrix ist also eine allgemeine Radiodrome mit der Funktion $\xi (t)={\tfrac {d}{|{\mathbf {\dot {P}} (t)}|}}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de